Integral Indefinida - Integral DefinidaAplicando las propiedades y definición de integral, resolver las siguientes integrales:
Existen casos en el que el Teorema Fundamental del Cálculo NO se cumple para resolver integrales, tal es el caso de integrales que tienen integrando discontinuo en el intervalo propuesto. Sea f(x) una función continua
en el intervalo semiabierto [a, b), entonces:
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Respuesta de Valero Angel Serrano Mercadal
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¡Hola Marcos!
Haré las dos primeras y las otras dos te pediría las mandaras de una en una.
La primera es muy sencilla:
$$\begin{align}&\int \frac{x^2+1}{\sqrt x}dx = \int \left(x^{\frac 32}+x^{-\frac 12}\right)dx=\\&\\&\frac{x^{\frac 52}}{\frac 52}+ \frac{x^{\frac 12}}{\frac 12}+C = \frac 25 \sqrt{x^5}+2 \sqrt x+C\\&\\&----------------\\&\\&\int_1^4 \frac{1}{1+\sqrt x}dx=\\&\\&\text{hacemos un cambio de variable y límites de integración}\\&\\&t=1+\sqrt x \implies \sqrt x=t-1\\&dt= \frac{dx}{2 \sqrt x}= \frac {dx}{2(t-1)}\implies dx= 2(t-1)dt\\&x=1\implies t=1+ \sqrt 1 = 2\\&x=4\implies t=1 + \sqrt 4=3\\&\\&=\int_2^3 \frac{1}{t}·2(t-1)dt = \int_2^3\left(2- \frac 2t\right)dt=\\&\\&\left[ 2t - 2 \,ln\,t \right]_2^3=6-2ln3-4+ 2ln2 = 2+ln4-ln9\\&\end{align}$$Y eso es todo, saludos.
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