Problemas de optimización, varias variables
El problema es:
Dividir un número m>0 en tres sumandos no negativos, de manera que la suma de los productos de éstos, tomados de dos en dos, sea máxima.
2 Respuestas
;)
Hola Ninel!
Ponlo también en matemáticas, sino puede que no veamos la pregunta.
Por el método de los multiplicadores de Lagrange:
El lagrangiano se construye con la función a optimizar menos la condición escrita igualada a 0
m=x+y+z ==> x+y+z-m=0
$$\begin{align}&Lagrangiano\\&\\&L(x,y,z, \lambda)=xy+xz+yz- \lambda(x+y+z-m)\\&\\&Sus \ derivadas \ han \ de \ valer \ 0\\&\\&L_x=y+z-\lambda\\&L_y=x+z- \lambda\\&L_z=x+y-\lambda\\&\\&L_{\lambda}=m-x-y-z\\&\\&0=y+z-\lambda==> \lambda=y+z\\&0=x+z- \lambda==>\lambda=x+z\\&0=x+y-\lambda==>\lambda=x+y\\&===>\\&y+z=x+z ==> y=x\\&x+z=x+y==> y=z\\&\\&luego\\&x=y=z\\&\\&\lambda=x+y=2x==> x= \frac{\lambda} 2=y=z\\&\\&0=m-x-y-z\\&0=m-\frac{\lambda} 2-\frac{\lambda} 2-\frac{\lambda} 2\\&\\&\lambda= \frac{2m} 3\\&\\&x=y=z= \frac m3\end{align}$$lo cual era evidente, ya que al ser las tres variables intercambiables, y ninguna es más guaspa que las otras, el producto máximo se consigue cuando los tres números son iguales, y por tanto la tercera parte de m
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Tenemos que
$$\begin{align}&m = a + b + c > 0\\& (a,b,c>0)\\&f(a,b,c) = ab + bc + ca\\&\frac{\partial f}{\partial a}=b +c\\&\frac{\partial f}{\partial b}=a +c\\&\frac{\partial f}{\partial c}=b +a\\&\end{align}$$Creo que no llegamos a nada útil por este camino, ya que se supone que a,b,c > 0...
En fin, no borro esto por si te sirve para 'ayudarte a pensar'
Salu2