¿Calcular áreas en gráficas usando una sola integración?

;)
Hola Ilmer!

A es un triángulo de base 3-(-3)=6   y   altura 9-6=3

$$\begin{align}&A= \frac 1 2·6·3=9\ \ u^2\end{align}$$

Necesitamos las ecuaciones de las rectas, en realidad por la simetría del dibujo, con una tengo suficiente. Calculare la que pasa  por (-2,4)  y (3,9):

pendiente:

$$\begin{align}&m= \frac {\Delta y}{\Delta x}=\frac{9-4}{3-(-2)}=\frac 5 5=1\\&\\&y=x+6\\&\ \text{La otra es}: y=-x+6\\&\\&B=C=\int_0^2x+6-(-x+6)]dx+\int_2^3 (x+6-x^2)dx=\int_0^22xdx+\int_2^3 (x+6-x^2)dx=\\&\\&\Bigg[x^2 \Bigg]_0^2+ \Bigg[ \frac {x^2} 2+6x- \frac{x^3} 3 \Bigg]_2^3=4+ \frac 9 2 +18- \frac{27} 3-(2+12- \frac 8 3)= \frac {37} 6\ \ u^2\\&\\&D=2 \int_0^2(-x+6)-x^2 \ \ dx=2 \Bigg[- \frac{x^2} 2 +6x- \frac{x^3} 3 \Bigg]_0^2=2\Big(-2+12- \frac 8 3 \Big)=\frac {44}3  \ u^2\\&\\&A+B+C+D=9+2· \frac {37}6+ \frac{44}3=36\ \ \ u^2\\&\\&\\&A+B+C+D=2 \int_0^3(9-x^2)dx= 2 \Bigg[9x- \frac{x^3} 3 \Bigg]_0^3=2(27-\frac{27} 3)=2(27-9)=36 \ u^2\end{align}$$

Saludos

;)

;)