Calcule la derivada direccional de la función en el punto dado en la dirección del vector v
Agradezco su ayuda con este ejercicio de calculo multivariado
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Respuesta de Lucas m
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Hola Johana!
La derivada direccional en un punto es el producto escalar del vector gradiente en ese punto, por el unitario de la dirección considerada:
$$\begin{align}&D_vf(P)= \vec{\nabla f(P)}·\vec u\\&\\&|\vec v|= \sqrt{ (-1)^2+(-2)^2+2^2}=3\\&\\&\vec u= \frac 1 3 \vec v=(- \frac 1 3, - \frac 2 3, \frac 2 3)\\&\\&\vec{\nabla f}=(f_x,f_y,f_z)=\Big(\frac{yz}{2 \sqrt {xyz}},\frac{xz}{2 \sqrt {xyz}},\frac{yz}{2 \sqrt {xy}}\Big)\\&\\&\vec{\nabla f(P)}=\Big(\frac {12}{2 \sqrt {36}},\frac {18}{2 \sqrt {36}},\frac {6}{2 \sqrt {36}}\Big)=\Big(1, \frac 3 2, \frac 1 2\Big)\\&\\&D_vf(P)= \vec{\nabla f(P)}·\vec u=\Big(1, \frac 3 2, \frac 1 2\Big)·(- \frac 1 3, - \frac 2 3, \frac 2 3)=\\&\\&- \frac 1 3-1+ \frac 1 3=-1\\&\\&\end{align}$$Saludos y recuerda votar
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