¿Cuál es el conjunto de convergencia absoluta y el radio de convergencia de la siguiente serie?

ÍTEMS DE SELECCIÓN MÚLTIPLE CON ÚNICA RESPUESTA A continuación, usted encontrará preguntas que se desarrollan en torno a un enunciado, problema o contexto, frente al cual, usted debe seleccionar aquella opción que responda correctamente al ítem planteado entre cuatro identificadas con las letras A, B, C, D. Una vez la seleccione, márquela con un óvalo la que corresponda y justifique la respuesta.

Respuesta
1

La respuesta es la c

1 respuesta más de otro experto

Respuesta
1

Puedes hacer uso del criterio de la razón, entonces,

$$\begin{align}&\lim_{n\rightarrow\infty}{\left|\frac{a_{n+1}}{a_{n}}\right|}=\lim_{n\rightarrow\infty}{\left|\frac{\frac{x^{n+1}}{\sqrt{n+1}}}{\frac{x^{n}}{\sqrt{n}}}\right|}=\lim_{n\rightarrow\infty}{\left|\frac{x^{n+1}}{\sqrt{n+1}}\frac{\sqrt{n}}{x^{n}}\right|}=\lim_{n\rightarrow\infty}{|x|\left|\frac{\sqrt{n}}{\sqrt{n+1}}\right|}=|x|\lim_{n\rightarrow\infty}{\left|\sqrt{\frac{n}{n+1}}\right|}\\&\\&...=|x|\lim_{n\rightarrow\infty}\sqrt{1-\frac{1}{n+1}}=|x|(1)=|x|<1\\&\\&\end{align}$$

si hacemos que todo eso sea extrictamente menor que uno, garantizamos que la serie converge absolutamente...entonces,

$$\begin{align}&|x|<1\hspace{5mm}\textrm{es equivalente: }\hspace{5mm} -1< x<1\end{align}$$

listo entonces el raido de convergencia es de 1, y si queremos saber el intervalo de convergencia, debemos analizar, que sucede con la serie justo en los puntos de intersección de la bola es decir -1 y 1, entonces

$$\begin{align}&Para:x=1\\&\sum_{n=0}^{\infty}{\frac{1^{n}}{\sqrt{n}}}\\&\textrm{si analizamos éste límite te vas a dar cuenta que es divergente, ahora veamos }\\&\\&Para:x=-1\\&\sum_{n=0}^{\infty}{\frac{(-1)^{n}}{\sqrt{n}}}\\&\textrm{si analizamos éste límite te vas a dar cuenta que es convergente}\\&\\&\end{align}$$

verificar esos límites te queda de tarea...tienes que hallar el límite cuando n tiende al infinito...y bueno, eso sería todo...entonces el intervalo de convergencia, sería,

$$\begin{align}&I:[-1,1)\end{align}$$

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