Duda con radio exterior de solido en revolución
Conseguí este ejercicio en internet: Calcular el volumen de un solido generado por la rotación de la región del plano xy, limitada por la semielipse de ecuación Y = 2√(1-x^2) y el eje ox, alrededor de la recta y=-1.
Pero tengo una duda sobre como hallar el radio exterior, vi videos en youtube y dicen que es la resta de la distancia menos la curva o recta según sea el caso, en este caso la distancia son 3 unidades y la gráfica es Y = 2√(1-x^2), entonces como quedaría el radio exterior : 3 - 2√(1-x^2), pero en la resolución del ejercicio vi que el radio exterior es : 2√(1-x^2) + 1, ¿entonces me pregunto al fin como es? . Estoy estudiando por mi cuenta para un examen de admisión, gracias.
1 Respuesta
Es correcto el "+1". Observa que tu Radio hasta y=0 es f(x), pero no estás girando alrededor de y=0, sino "una unidad más alejada de tu borde exterior de giro", que es y=(-1). Entonces tu radio es: f(x) + 1.
Una vez que tienes el volumen completo de este sólido de revolución (que te sugiero tomar límites de integración entre 0 y 1, y luego multiplicar por 2), debes restarle el cilindro central de volumen Pi*1^2*2 (o: 2Pi u^3), quedando resuelto el problema.
Intentemos llevar a cabo lo anterior.
V (de un cilindro) = π*r^2*h; pero en el volumen diferencial ("feta"), r= f(x) +1 en este caso; h=dx. Si integramos la función entre 0 y 1, y lo multiplicaremos por 2 porque es simétrico derecha-izquierda, obtenemos el sólido completo:
V = 2* [π ∫ (de 0 a 1) {[2√(1-x^2)] + 1}^2*dx];
V = 2* [π ∫ (de 0 a 1) {[4(1-x^2)] + 4√(1-x^2) + 1}*dx;
V = 2* [π ∫ (de 0 a 1) [4 - 4x^2 + 4√(1-x^2) + 1]dx;
V = 2* [π ∫ (de 0 a 1) [5 - 4x^2 + 4√(1-x^2)]dx; integro:
Separemos el último término de la integral, que es el único problemático: 4√(1-x^2); Multiplico y divido por la raíz:
4* [(1-x^2) / √(1-x^2)]; duplico y multiplico por (1/2):
2* (1-x^2 - x^2 + 1) / √(1-x^2); separo:
2* { [(1-x^2)/√(1-x^2)] - [x^2 / √(1-x^2)] + [1/√(1-x^2)];
2* { [√(1-x^2)] - [x^2 / √(1-x^2)] + [1/√(1-x^2)];
u=x√(1-x^2); du={√(1-x^2) - [x^2/√(1-x^2)]}*dx; reemplazo:
2* { du + [dx/√(1-x^2)]; pero además: d sen^(-1)x = dx/√(1-x^2): reemplazo:
2* {du + d[sen^(-1)x]; integro:
2* [u + sen^(-1)x]; devuelvo variable:
2[x√(1-x^2)+sen^(-1)x]; Pongamos ahora todo el volumen completo:
V = 2π { 5x - (4/3)x^3 + 2[x√(1-x^2)+sen^(-1)x] }
Para x=1: 2π * [5 - (4/3) + π]; (22/3)π + 2π^2;
Para x=0: 2π * [0 + 0 + 0 + 0]; resto y queda:
V(del sólido completo): (22/3)π + 2π^2 u^3;
Ahora a restarle el cilindro central:
Vol (final)= (22/3)π + 2π^2 - 2π;
Vol (final)= [(20/3)π + 2π^2] u^3; o: 20.944 + 19.74 =
40.68 u^3, que es tu respuesta (si algún cálculo no ha fallado...)
Excelente explicación, muchas gracias.
Hay un error en la última cuenta:
Vol (final)= (22/3)π + 2π^2 - 2π;
Vol (final)= (18/3)π + 2π^2;
Vol (final)= 6π + 2π^2;
Vale, gracias.
Quise decir:
Vol (final)= (22/3)π + 2π^2 - 2π;
Vol (final)= (16/3)π + 2π^2
Si gracias, ya me habìa dado cuenta que es 16/3.
OK
