En cuanto al preaviso, debe consultar su convenio que dice al respecto, lo habitual es que no sea necesario preaviso en contratos de duración inferior al año.
Por otro lado, a usted no le ha ofrecido una renovación de su contrato actual, sino, un nuevo contrato con otra empresa, por lo que deberían finiquitarle ese contrato y no podrían de obligarla a aceptar un contrato en otra empresa diferente. Si se consideran entidades diferentes sin relación entre ellas, los contrato tampoco pueden tener relación.
Resumiendo, si usted quiere continuar en la empresa del primer contrato y no la renuevan, deberían finiquitarla con todo lo que le corresponde e indemnizarla. Ya si decide o no aceptar un contrato en otra empresa diferente no debe afectar a su liquidación de la anterior.
Como consejo le recomiendo si ve que se están aprovechando desde la empresa de la situación, interponga una denuncia ante la inspección de trabajo explicándolo todo bien, y desde inspección considerarán si la forma en la que están haciendo esos "cambio" es la correcta o podría ser sancionable.
En muchas empresas, solo con la mención de que piensa ir a inspección de trabajo, le arreglan la situación.