Hay unas cuantas cosas mal. Lo primero de todo te recomiendo acudir a una oficina sociolaboral de la subdelegación del gobierno de tu provincia. Ellos te ayudarán a comprobar los datos. Posiblemente ellos te pongan en contacto con la inspección posteriormente.
Tienes derecho, es obligatorio para la empresa y es una falta grave no hacerlo, a darte todo por escrito. Tanto nóminas como contrato, liquidación y/o finiquito, y otras modificaciones. Esto tienen que dártelo en el mismo momento en que finaliza el contrato. Si finaliza mañana es posible que mañana te lo den.
Por otro lado, cuando se trabaja, se devenga también la parte proporcional de festivos. No pueden despedirte un sábado en teoría, y si lo hacen tendrías derecho a la parte proporcional del fin de semana. Me imagino que tu trabajo normal es de lunes a viernes y los días de descanso son sábado y domingo.
También entiendo que es un contrato a tiempo parcial. Si el contrato es de 21 horas semanales es ilegal hacer horas extras. Aunque si las has hecho por supuesto que te las tienen que pagar (cotizando como extras) y por supuesto los festivos.
Si te han dicho de palabra que el contrato es una sustitución y lo puedes demostrar, también tendrías que reclamarlo si en el contrato te han puesto eventual. Si es sustitución tienes derecho a continuar hasta que la causa de sustitución finalice. (Aunque no se si te interesa seguir en esa empresa)
No debes dejar pasar demasiado tiempo antes de acudir a la inspección de trabajo. Si lo mueves por ahí no suelen demorarse mucho en las gestiones. Si lo haces por otros medios puede alargarse más, te lo digo por propia experiencia.
Si cuando vayas a la inspección siguen sin haberte dado papeles, llévales toda la documentación que puedas que demuestre que has estado en la empresa y las horas que has hecho. (Nóminas, extractos bancarios, tarjetas de fichar, notas informativas, ...) Ellos te darán más indicaciones de las cosas que puedes aportar en caso de ser necesario. Por experiencia personal no tires la ropa que te hayan podido dar, podría llegar a hacerte falta.