¿Expresar como unión de intervalos x^2<2+|x| ? Para x todo R

Veamos...

x^2 < 2 + |x|

x^2 - 2 <  |x|

Voy a separar en casos

x >= 0: 

x^2 - 2 <  x

x^2 - x - 2 <  0

Es un polinomio con coeficiente principal positivo, por lo cual será negativo entre las raíces

Haciendo el cálculo tenemos que las raíces son x_1=-1, x_2 = 2 por lo tanto la expresión anterior es cierta para x en el intervalo (-1 , 2), como además teníamos la condición que x >=0, tenemos que un primer intervalo solución es x in [0, 2)

Ahora veamos si x < 0

x^2 - 2 <  - x

x^2 + x - 2 <  0

Igual que antes, la solución se da entre las raíces que ahora son x_1=-2 y x_2=1 por lo que este intervalo sería (-2 , 1), como se pide que x<0, entonces el intervalo es (-2 , 0)

Uniendo las dos condiciones tenemos que la solución es: (-2, 0) U [0, 2) que lo podemos expresar directamente como un solo intervalo (-2, 2)

Salu2