4. Utilice el método de los multiplicadores de Langrange para encontrar los extremos con restricciones de la función dada.

Debemos encontrar el punto en que la curva de nivel de la función objetivo (f(x, y) ) coincide con la restricción (g(x;y), y sus gradientes (G) son paralelos, es decir:

G(f) = L * G(g);  donde L es Lambda o el multiplicador de Lagrange.

Primero hallamos las derivadas parciales de la función objetivo:

f(x,y)/dx = 8x;

f(x,y)/dy = 4y;  

<8x; 4y>

Luego hallamos las derivadas parciales de la restricción:

g(x,y)dx=8x;

g(x,y)/dy= 2y;

<8x; 2y>

Entonces:  <8x; 4y> = L* <8x; 2y>

Tenemos tres incógnitas, con lo que debemos tener tres ecuaciones para que tenga resolución única:

8x = L*2y;

4y = L*8x

4x2+y2=4

Resuelvo: utilizando las dos primeras: (multiplico por y la primera y por 2x la segunda):

8xy=L*2y^2;  8xy=L*16x^2;  igualo:  L*2y^2 = L*16x^2;  simplifico:

y^2 = 8x^2;  sustituyo en la tercera:

4x^2 + 8x^2 = 4;   12x^2=4;  x=+-√3 /3;  sustituyo en la anterior:

y^2=8/3;  y=+-2√6 /3;

Extremos:  (+-√3)/3 ; (+-2√6)/3.

Corroboro: 4/3 + 8/3= 12/3 = 4;  es correcto.