¿Se puede factorizar z^4+4 como producto de factores con coeficientes reales?

;)

Hola Fran SA

(x^4+4)=(x^2+2)^2-4x^2=

(x^2+2+2x)(x^2+2-2x)

Supongo que con z te refieres a los números complejos.

Si esto es así entonces las raíces de esa expresión son:

$$\begin{align}&z_1=-1-i\\&z_2=-1+i\\&z_3=1-i\\&z_4=1+i\\&\text{original se puede rescribir como}\\&(z-z_1)(z-z_2)(z-z_3)(z-z_4)=\\&(z+1+i)(z+1-i)(z-1+i)(z-1-i)\\&\text{Agrupando los primeros parentesís y los últimos, tenemos}\\&(z^2+2z+2)(z^2-2z+2)\\&\text{Ahora veamos que pasa con una expresión general de z=a+bi}\\&((a+bi)^2+2(a+bi)+2)\cdot((a+bi)^2-2(a+bi)+2)=\\&(a^2+2abi+b^2i^2+2a+2bi+2)\cdot(a^2+2abi+b^2i^2-2a-2bi+2)=\\&((a^2-b^2+2a+2) + i(2ab+2b))\cdot((a^2-b^2-2a+2)+i(2ab-2b))\\&\end{align}$$

Nota1: te dejo un link donde se ve que las raíces de esa expresión son las 4 que puse en la expresión

Nota2: al menos de la expresión, yo no puedo deducir nada. Igualmente dejo lo que calculé por si alguien puede usar esto para ampliar el resultado

Salu2