Resolución de una identidad trigonométrica

;)
Hola Fernando!
Utilizaré una identidad trigonométrica que relaciona la tangente con la secante y que se deduce de la Identidad Fundamental:

$$\begin{align}&sen^2x+\cos^2x=1\\&\\&\text{dividiendo por} \cos^2x\\&\\&\frac{sen^2+\cos^2x}{\cos^2x}= \frac 1 {\cos^2x}\\&\\&\frac{sen^2x}{\cos^2x}+ \frac{\cos^2x}{\cos^2x}=\frac{1}{\cos^2x}\\&\\&tg^2x+1=sec^2x\ \ \ (*)==>tg^2x=sec^2x-1\\&\\&tg^4x-sec^4x=(tg^2x+sec^2x)(tg^2x-sec^2x)=(sec^2x-1+sec^2x)(sec^2x-1-sec^2x)=\\&\\&=(2sec^2x-1)(-1)=1-2sec^2x\\&c.q.d.\end{align}$$

c.q.d.   como queríamos demostrar

Saludos

;)

;)

Veamos...

$$\begin{align}&1 - 2 sec^2x =^? tg^4x-sec^4x\\&\text{Voy a empezar de la derecha}\\&tg^4x-sec^4x = \frac{sen^4x}{\cos^4x}-\frac{1}{\cos^4x}=\frac{sen^4x-1}{\cos^4x}=\\&\frac{(sen^2x-1)(sen^2x+1)}{\cos^4x}=\frac{-\cos^2x(sen^2x+1)}{\cos^4x}=\\&\frac{-(sen^2x+1)}{\cos^2x}=-\frac{sen^2x}{\cos^2x}-\frac{1}{\cos^2x}=-tg^2x-sec^2x\\&\text{Lo siento pero no llego a nada parecido a } (1-2sec^2x)\\&\end{align}$$

No llegué a nada, pero te dejo lo que hice por si te sirve de algo...

Salu2

$$\begin{align}&1 - 2sec^2(x) = tan^4(x) - sec^4(x)\\&1 - 2sec^2(x) = (tan^2(x) - sec^2(x)) (tan^2(x) + sec^2(x)) \\&1 - 2sec^2(x) = (-1) (tan^2(x) + sec^2(x)) \\&1 - 2sec^2(x) = (-1) (sec^2(x) - 1+ sec^2(x)) \\&1 - 2sec^2(x) = (-1) (- 1+ 2sec^2(x)) \\&1 - 2sec^2(x) = 1- 2sec^2(x)\\&\end{align}$$

Ya ta, mas fácil