¿Cómo demuestro vectorialmente si se genera un paralelogramo en un cuadrilátero?

;)
Hola Nicolas Cantero!

La situación es :

Sean las coordenadas de los puntos del cuadrilátero ABCD:

$$\begin{align}&A(a_1,a_2)\\&B(b_1,b_2)\\&C(c_1,c_2)\\&D(d_1,d_2)\\&\\&Calculamos \ los \ puntos \ medios:\\&\\&M=(\frac{a_1+b_1} 2 , \frac{a_2+b_2} 2 )\\&\\&N=(\frac{b_1+c_1} 2 , \frac{b_2+c_2} 2 )\\&\\&P=(\frac{c_1+d_1} 2 , \frac{c_2+d_2} 2 )\\&\\&Q=(\frac{d_1+a_1} 2 , \frac{d_2+a_2} 2 )\\&\\&\text{Sera un paralelogramo si los vectores:}\\&\vec{MN}=\vec{QP}\\&y\\&\vec{QM}=\vec{PN}\\&\\&\vec{MN}=N-M=( \frac{b_1+c_1-a_1-b_1} 2,\frac{b_2+c_2-a_2-b_2} 2=(\frac{c_1-a_1} 2, \frac{c_2-a_2}2)\\&\\&\vec{QP}=P-Q=( \frac{d_1+c_1-a_1-d_1} 2,\frac{d_2+c_2-a_2-d_2} 2=(\frac{c_1-a_1} 2, \frac{c_2-a_2}2)\\&\end{align}$$

De la misma   manera se demuestra la segunda igualdad vectorial.

Luego los vectores son equipolentes dos a dos y por tanto forman un paralelogramo. Lo cual es independiente de los valores de a, b, c y d