Determinar si el conjunto dado es un espacio vectorial

Para que sea un espacio vectorial en R3, debe corroborarse que sea un conjunto no vacío de elementos matemáticos (vectores en este caso, con la característica de ser: x-2y-z=0), pertenecientes a R3, que cumpla con una operación interna de suma y una operación externa de producto por escalares.

Tomemos al conjunto de estos vectores, manteniendo la igualdad, de esta forma:  n(x-2y-z)=0, con n=R:  siguen perteneciendo todos ellos a R3 y tienen la característica:  (x-2y-z)=0;  

Con esto también demostramos la operación externa por un escalar (que es n);

Si hacemos: n1*(x-2y-z)=0;  n2*(x-2y-z)=0 y los sumamos, obtenemos:

(n1+n2)*(x-2y-z)=0;  con lo que cumplen con la operación interna de suma de vectores.

Analicemos ahora los diez Axiomas:

1)  Ley de composición interna (ya demostrada);

2)  Ley de composición externa (ya demostrada);

3)  Asociatividad de vectores: n1*(x-2y-z) + [n2*(x-2y-z) + n3*(x-2y-z)] = [n1*(x-2y-z) + n2*(x-2y-z)] + n3*(x-2y-z);

4)  Asociatividad con escalares:  (n1*n2)*(x-2y-z) = n1*[n2*(x-2y-z);

5)  Conmutatividad:  n1(x-2y-z)+n2(x-2y-z) = n2(x-2y-z)+n1(x-2y-z);

6)  Distributiva vectorial: k*[n1(x-2y-z)+n2(x-2y-z)] = kn1(x-2y-z) + kn2(x-2y-z);

7)  Distributiva escalar: (x-2y-z)(n1+n2) = n1(x-2y-z) + n2(x-2y-z);

8)  Elemento neutro vectorial:  (x-2y-z)+0 = (x-2y-z);

9)  Elemento neutro escalar:  (x-2y-z)*1 = (x-2y-z);

10)  Simétrico u opuesto:  (x-2y-z) + (-x+2y+z) = 0.

Por ende, es un espacio vectorial.