Grafique la región limitada por las curvas y calcule el área determinada por ambas

a) el eje de abscisas, la recta y = x + 1 y la recta x = 4

Puede realizarse en forma directa dado que queda un triángulo rectángulo con base entre x=(-1) y x=4;  la altura es y=5 (tomada en (4; 5):

A=bh/2;  A=25/2.

Usando integración:  ∫ (de -1 a 4) de (x+1)*dx;

Indefinida:  (1/2)x^2 + x + C;

Para x=4:  12

Para x=(-1):  -1/2;  resto:  25/2 unidades cuadradas;  igual resultado que por la otra forma.

b) el eje de abscisas, la curva y = x^2 - 1 y la recta x = 2

Hallamos los cruces de la curva con el eje x:  0=x^2-1;  x=+-1;

Los límites de integración para el área encerrada son x=1 a x=2:

∫ (de 1 a 2) (x^2-1)*dx;

Indefinida:  (1/3)x^2 - x + C;

Para x=2:  (8/3) - 2;  2/3;

Para x=1:  -2/3;  resto:  4/3.

Resultado= 4/3 unidades cuadradas.

c) y = x2 + 2x - 1 con la recta y = - x - 1

Igualo ambas funciones para obtener los límites de integración:

x^2+2x-1 = -x - 1;   x^2+3x=0;  x(x+3)=0.  x=0;  x= (-3).

Como la recta queda por encima de la parábola:

∫ (de 0 a -3) (-x-1) dx - ∫ (de 0 a -3) (x^2+2x-1)*dx;

(-1/2)x^2 - x + C - [ (1/3)x^3 + x^2 - x + C];

(-3/2)x^2 -  (1/3)x^3;

Para x=0:  0

Para x= (-3):  (-27/2) + 9;  (-9/2);  resto:  9/2

Resultado: 9/2 unidades cuadradas.