Anónimo
¿Constante Lipszchiziana en problemas de Cauchy?
¿Cómo se puede calcular la constante lipszchiziana en un problema cualquiera de Cauchy?
Respuesta de Andrés L.
1
Espero poder ayudarte, ya que esto lo tengo un poco olvidado...
Generalmente, es complicado demostrar que la función es de Lipschitz a partir de la propia definición. Puedes utilizar algún resultado como "si existen las derivadas parciales respecto de la segunda variable y están acotadas, entonces la función es Lipschitziana".
Ejemplo de problema de Cauchy:
$$\begin{align}&x'(t) = t+x(t)\\&x(0) = 2\end{align}$$Normalmente, te interesa que sea Lipschitz respecto de la segunda variable (por el teorema de Picard). La función del problema es
$$\begin{align}&F(t,x(t)) = t+x(t)\end{align}$$Es Lipschitz respecto de y:
$$\begin{align}&|F(t,x_1)-F(tx_2)| =\\&= |t+x_1 -t-x_2 |=\\&=|x_1-x_2|\leq K |x_1-x_2|\end{align}$$La constante de Lipschitz es K=1.
Erratas:
- Cambiar "Es Lipschitz respecto de y" por "Es Lipschitz respecto de x"
- En la comprobación de Lipschitz falta una coma, sería F(t, x_2)