Problema de aplicación del teorema del valor medio

Sea f tal que limite cuando x tiende a infinito de f'(x) = b.
Demostrar que limite cuando x tiende a infinito de f(x)/x = b.

No encuentro la forma de hacerlo. Intuitivamente entiendo que al tender x a infinito, las pendientes de las rectas tangentes tienden a b, entonces f debe tender a la recta y = bx + n.

Luego, si demuestro que limite cuando x tiende a infinito de f(x) - bx + n, terminaría. Pero no veo cómo usar la hipótesis o a qué función debería aplicar el teorema del valor medio para la derivada y en qué intervalo.