Lím nL cuando n tiende al infinito

Vamos a encontrar una formula para el perímetro que tienen los polígonos regulares inscritos

Si trazamos rectas que pasen por el centro hasta cada uno de los n vértices (n depende del numero de con cual polígono estás trabajando) y luego trazas rectas que pasen por el punto medio de cada lado del polígono, se forman 2n triángulos rectángulos. Como los triángulos son iguales y sabemos que el circulo tiene 2pi radianes, el angulo central esta dividido en 2pi/2n = pi/n radianes. La hipotenusa es el radio del círculo r, así que el cateto opuesto(La mitad del lado del polígono) tiene longitud rsin(pi/n)

El lado completo tendria longitud 2rsin(pi/n) y como hay n lados

$$\begin{align}&Perimetro= 2nrsin\bigg(\frac{\pi}{n}\bigg)\end{align}$$

La pregunta nos pide entonces hallar ese limite que hay varias maneras(Te mostraré dos).

Voy a hacer uso que a medida que n tiene a infinito el angulo dentro del seno tiende a cero, por lo que puedo reescribir el lim y hacer uso de que cuando el angulo dentro del seno tiende a cero, el resultado es el mismo angulo (por serie de taylor se comprueba esto)

$$\begin{align}&\lim_{n \to \infty}2nrsen\bigg(\frac{\pi}{n}\bigg)\\&\lim_{\frac{\pi}{n} \to 0} 2nrsen\bigg(\frac{\pi}{n}\bigg)\\&\lim_{\frac{\pi}{n} \to 0} 2nr \frac{\pi}{n}=2 \pi r\end{align}$$

Otra manera es haciendo un truco, dividiendo y multiplicando por pi, y hacer uso del lim x tiende a cero (viendo que cuando n en este caso tiende a infinito el angulo dentro del seno tiende a cero)de senx/x es 1

$$\begin{align}&\lim_{n \to \infty}2nr \frac{\pi}{\pi}sen\bigg(\frac{\pi}{n}\bigg)\\&\lim_{\frac{\pi}{n} \to 0} 2 \pi r \frac{n}{\pi}sen\bigg(\frac{\pi}{n}\bigg) \\&\lim_{\frac{\pi}{n} \to 0} 2 \pi r \frac{sen\bigg(\frac{\pi}{n}\bigg)}{\frac{\pi}{n}}=2 \pi r \end{align}$$

Nos queda sin importar cual metodo que el lim del perimetro es 2pi r que es el de la circunferencia del circulo