Demostración de fórmula por medio de integración por partes y cambio de variable

$$\begin{align}&\int_{0}^{1}x^{\alpha-1}(1-x)^{\beta-1} dx\\&\\&u=1-x \qquad x=1-u\\&du=-dx\\&\\&\int_{1}^{0}(1-u)^{\alpha-1}(u)^{\beta-1} (-du)\\&\int_{0}^{1}(1-u)^{\alpha-1}(u)^{\beta-1} du\end{align}$$

Ahora u es lo que al menos en ingles se llama dummy variable, y bueno es que no importa que letra esté ahí, pude haber puesto v, t, r y el resultado es el mismo, el resultado va a depender de los intervalos de integración (que son el mismo luego de hacer la sustitución).Parecerá trampa, pero esto se aplica para demostrar por ejemplo que cuando se evalúa una integral de una función par de -a hasta a, es lo mismo que evaluar la integral de 0 a a dos veces

Por lo que

$$\begin{align}&\int_{0}^{1}(1-u)^{\alpha-1}(u)^{\beta-1} du=\int_{0}^{1}(1-x)^{\alpha-1}(x)^{\beta-1} dx=B(\beta,\alpha)\end{align}$$

b)

$$\begin{align}&B(\alpha,\beta)=\int_{0}^{1}x^{\alpha-1}(1-x)^{\beta-1} dx\\&\\&u=x^{\alpha-1}  \qquad du=(\alpha-1)x^{\alpha-2}dx\\&dv=(1-x)^{\beta-1} dx \qquad v=-\frac{(1-x)^{\beta}}{\beta}\\&\\&B(\alpha,\beta)=-x^{\alpha-1}\frac{(1-x)^{\beta}}{\beta}\bigg|_{0}^{1}+\frac{\alpha-1}{\beta} \int_{0}^{1} (1-x)^{\beta}x^{\alpha-2}dx=\frac{\alpha-1}{\beta} \int_{0}^{1} (1-x)^{(\beta+1)-1}x^{(\alpha-1)-1}dx\\&B(\alpha,\beta)=\frac{\alpha-1}{\beta}B(\alpha-1,\beta+1)\\&\\&B(\alpha,\beta)=\int_{0}^{1}x^{\alpha-1}(1-x)^{\beta-1} dx\\&\\&u=(1-x)^{\beta-1} \qquad du=-(\beta-1)(1-x)^{\beta-2}dx\\&dv=x^{\alpha-1}dx \qquad v=\frac{x^{\alpha}}{\alpha} \\&\\&B(\alpha,\beta)=\frac{x^{\alpha}(1-x)^{\beta-1}}{\alpha}\bigg|_{0}^{1}+\frac{\beta-1}{\alpha} \int_{0}^{1} (1-x)^{\beta-2}x^{\alpha}dx=\frac{\beta-1}{\alpha} \int_{0}^{1} (1-x)^{(\beta-1)-1}x^{(\alpha+1)-1}dx\\&B(\alpha,\beta)=\frac{\beta-1}{\alpha}B(\alpha+1,\beta-1)\\&\\&B(\alpha,\beta)=\frac{\beta-1}{\alpha}B(\alpha+1,\beta-1)=\frac{\alpha-1}{\beta}B(\alpha-1,\beta+1)\\&\end{align}$$

La c ya te la doy por alguna razón no me da aunque se que esa es la respuesta