Como determinar la siguiente integral

Hmm serie de fourier eh

$$\begin{align}&\int_{-L}^{L}\cos \frac{m \pi x}{L} \cos \frac{n \pi x}{L} dx\\&u=\frac{\pi x }{L}\\&du=\frac{\pi}{L}dx\\&\\&\frac{L}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}\cos mu \cos nu \ du\end{align}$$

Voy a resolver la integral indefinida primero y luego sustituyo 

$$\begin{align}&\int \cos mu \cos nu \ du\\&\\&\cos x \cos y= \frac{1}{2} (\cos(y+x)+\cos(y-x)\\&\frac{1}{2}\int \cos (mu+nu) \cos (nu-mu) \ du\end{align}$$

Veras que hay un mu-nu, hay dos casos entonces(hay un tercero pero lo pongo al final), si m=n, y si m distinto de n

$$\begin{align}&m=n\\&\\&\frac{1}{2}\int \cos(mu+mu)+\cos(0) du=\\&\frac{1}{2}\int \cos(2mu)+1 \ du\\&\frac{1}{4m}\sin (2mu)+\frac{u}{2}\\&\end{align}$$

$$\begin{align}&m \ne n\\&\frac{1}{2}\int \cos(mu+nu)+\cos(nu-mu) \ du=\\&\frac{1}{2} \bigg( \frac{1}{m+n}\sin (mu+nu)+\frac{1}{n-m}\sin (nu-mu) \bigg)\\&\\&\end{align}$$

(El tercer caso es cuando m=n y es igual a cero, nos queda division entre cero)

Ahora a sustituir ambos casos en la integral definida

$$\begin{align}&m=n\\&\\&\frac{L}{\pi} \bigg( \frac{1}{4m}\sin 2mu + \frac{u}{2}\bigg)_{-\pi}^{\pi}\end{align}$$

2mu siempre es multiplo de 2pi cuando sustituimos pi y menos pi, el seno vale cero en ambos casos

$$\begin{align}&\frac{L}{\pi}(\frac{\pi-(-\pi)}{2})=L\end{align}$$

$$\begin{align}&m \ne n\\&\frac{L}{\pi}\frac{1}{2} \bigg( \frac{1}{m+n}\sin (mu+nu)+\frac{1}{n-m}\sin (nu-mu) \bigg)_{-\pi}^{\pi}\\&\end{align}$$

Son siempre multiplos de pi, seno vale cero

M distinto de n la integral vale cero

Hay un tercer caso, y es cuando m y n son iguales a cero

La integral original ya que cos 0 es 1 nos queda

$$\begin{align}&\int_{-L}^{L}dx=2L\end{align}$$