El área lateral del cilindro es igual al perímetro (p) de la base * h, es decir que depende de dos cosas: p y h. Además, p=2π*r; siendo r el radio del cilindro. Para optimizarla tenemos que hacerlo depender de una sola: es decir, hacer que "una dependa de la otra".
Si hacemos un corte que pase por el centro de la esfera y por el eje del cilindro, podemos generar un triángulo rectángulo cuyos lados sean "r" (radio del cilindro) y h/2 (mitad de la altura del cilindro). El radio de la esfera (R=6) es la hipotenusa. Por Pitágoras:
6^2 = (h/2)^2 + r^2; con lo que podemos "hacer depender h de r".
(h/2)^2 = 36 -r^2;
h = 2*√ (36-r^2). Reemplazo en el área lateral: A=2π*r * h, quedando:
A=2π*r* 2*√ (36-r^2); o:
A=4π * [r*√ (36-r^2)]; derivo (como producto) para optimizar el área:
dA/dr =4π * { √ (36-r^2) - [r^2 /√ (36-r^2)] };
dA/dr =4π * { (36-r^2) - r^2 } /√ (36-r^2);
dA/dr =4π * { (36-2r^2)} /√ (36-r^2); igualo a 0:
0 = 36 - 2r^2; o: 0 = 18-r^2;
r^2=18;
r= 3√2; que es tu radio del cilindro optimizado.
De h = 2*√ (36-r^2), reemplazo:
h = 2√2
Norberto, h queda 6√2, ya que en el paso anterior te queda 2*√(18). Abz! - Anónimo