Demostrar que Q+ es forma un grupo abeliano bajo la operación * definida por:
Demostrar que todos los Q+ (racionales positivos) forman un grupo abeliano bajo la operación * definida por = a*b =1/2 ab , donde a y b pertenece a Q+
¿Cómo se puede demostrar de forma analítica?
Sin entrar en demasiadas profundidades matemáticas de teoría de grupos, un conjunto con una operación interna * es grupo abeliano si:
a) * Cumple la propiedad asociativa
b) * Tiene elemento neutro
c) Todo elemento del conjunto tiene inverso
d) * Cumple además la propiedad conmutatva
En tu caso:
a) (a*b)*c = (ab/2) * c = abc/4
a*(b*c) = a*(bc/2) = abc/4...son iguales...se cumple a)
b) Seria el 2 porque: a*2 = 2a/2 = a...se cumple b)
c) Si le llamamos I, entonces basta con comprobar que a*I = 2, que es el elemento neutro:
a*I = 2; aI/2 = 2; aI=4 -> I=4/a....pertenece a Q+...se cumple c)
d) a*b = ab/2 = ba/2 = b*a...son iguales...se cumple d)
Por lo tanto, ya esta demostrado
