Problemas de aplicación, calculo Integral

Para calcular la distancia recorrida puedes hacer uso de la integral de línea que en este contexto dice

$$\begin{align}&s|_{ta}^{tb} = \int _{t_a}^{t_b} ||s'(x)||dx\\&Donde \\&||s'(x)|| = \sqrt{1+s'(x)^2}\end{align}$$

Me ayudaría a resolver el primero por favor para así servir como ejemplo y  poder resolver los demás.

$$\begin{align}&s'(t) = 2t -2\\&|| s'(t)|| = \sqrt{1+(2t-2)^2}\\&\end{align}$$

No es necesario simplificar, no va a ayudar mucho, al menos en este caso en concreto

$$\begin{align}&\int_{0}^5 \sqrt{(2t-2)^2 +1} \,dt\\&\text{No es una integral sencilla, hay que hacer varias cosas}\\&u = 2t-2\\&du = 2dt\\&= \frac{1}{2} \int_{-2}^8 \sqrt{u^2+1} \,du\\&u = tan(x)\\&du = \sec^2(x)dx\\&\text{Aca no cambiare los limites de integracion, van a quedar algo feos}\\&\text{resolvere la integral indefinida y la regresare en terminos de u}\\&= \frac{1}{2} \int sec^2(x) \sqrt{\tan^2(x)+1} \,dx=  \frac{1}{2} \int \sec^3(x) \,dx=   \frac{1}{2} \int \sec^2(x)\sec(x) \,dx\\&\text{Haciendo integracion por partes}\\&u = \sec(x)\\&du =  \sec(x) \tan(x) dx\\&dv = \sec^2(x) dx\\&v = tan(x)\\& \frac{1}{2} \int \sec^3(x) \,dx= \frac{1}{2} \bigg[ \sec(x) \tan(x) - \int \sec(x) \tan^2(x) \,dx  \bigg]\\& \frac{1}{2} \int \sec^3(x) \,dx=\frac{1}{2} \bigg[ \sec(x) \tan(x) - \int \sec(x)(\sec^2(x)- 1) \,dx  \bigg]\\& \frac{1}{2} \int \sec^3(x) \,dx = \frac{1}{2} \bigg[ \sec(x) \tan(x) - \int \sec^3(x)\,dx + \int \sec(x) \,dx \bigg]\\&\int \sec^3(x) \,dx = \frac{1}{2} \bigg[ \sec(x) \tan(x) + \int \sec(x) \,dx \bigg]\\&\int \sec^3(x) \,dx = \frac{1}{2} \bigg[ \sec(x) \tan(x) + \int \sec(x) \frac{\sec(x) +tan(x)}{\sec(x) +tan(x)}\,dx \bigg]\\&\int \sec^3(x) \,dx = \frac{1}{2} \bigg[ \sec(x) \tan(x) + \ln \bigg|\sec(x) +\tan(x)\bigg| \bigg]\\&\text{Sustituyendo arriba}\\&\int_{0}^5 \sqrt{(2t-2)^2 +1} \,dt=\frac{1}{2} \int_{-2}^8 \sqrt{u^2+1} \,du = \frac{1}{2}\int \sec^3(x) \,dx = \frac{1}{4} \bigg[ \sec(x) \tan(x) + \ln \bigg|\sec(x) +\tan(x)\bigg| \bigg]\\&\int_{0}^5 \sqrt{(2t-2)^2 +1} \,dt=\frac{1}{2} \int_{-2}^8 \sqrt{u^2+1} \,du = \frac{1}{4} \bigg[ \sec(\arctan(u))\tan(\arctan(u))+ \ln \bigg|\sec(\arctan(u)) +\tan(\arctan(u))\bigg| \bigg]_{-2}^8\\&\text{Con un poco de trigonometria, se simplifica a}\\&\int_{0}^5 \sqrt{(2t-2)^2 +1} \,dt =\frac{1}{2} \int_{-2}^8 \sqrt{u^2+1} \,du =\frac{1}{4} \bigg[ u \sqrt{1+u^2}+ \ln|\sqrt{1+u^2} +u | \bigg]_{-2}^8\\&\int_{0}^5 \sqrt{(2t-2)^2 +1} \,dt = \frac{1}{4}\bigg [8 \sqrt{65} + \ln \frac{8+ \sqrt{65}}{\sqrt{5}-2} +2 \sqrt{5} \bigg]\end{align}$$

Bueno, es complicada, pero con operaciones que supongo que habras visto, he comprobado el resultado con matlab, es correcto.

¡Gracias! 

Lee los comentarios, lo que escribe Albert es correcto, me disculpo por mi respuesta

Entonces no puedo resolver los problemas mediante la fórmula de longitud de arco

¿Tengo qué interpretarlos físicamente?

Te están dando la ecuación de espacios recorridos "s"... Directamente reemplaza para los intervalos de tiempo dados.

¿Perdón... distancia total o trayecto?