Necesito demostrar algo sobre integrales impropias

$$\begin{align}&\int_{a}^{+\infty}f(t)\cos t ~dt=\int _{a}^{+\infty}f(t) ~d\sin t=\left.[f(t)\sin t]\right|_{a}^{+\infty}-\int_{a}^{+\infty}f'(t)\sin t~dt ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\\&\\&\int_{a}^{+\infty}f(t)\cos t ~dt= \lim\limits_{t\to +\infty}f(t)\sin t-f(a)\sin a-\int_{a}^{+\infty}f'(t)\sin t~dt\\&\\&\int_{a}^{+\infty}f(t)\cos t ~dt= -f(a)\sin a-\int_{a}^{+\infty}f'(t)\sin t~dt\\&\\&\color{green}{\text{Ahora veamos la integral }\int_{a}^{+\infty}f'(t)\sin t~dt}\\&\\&\left|\int_{a}^{+\infty}f'(t)\sin t~dt\right|\leq \int_{a}^{+\infty}|f'(t)|~dt\\&\\&\color{green}{\text{Como la función f es monotonamente decreciente entonces }f'[0,+\infty]<0}\\&\\&\left|\int_{a}^{+\infty}f'(t)\sin t~dt\right|\leq -\int_{a}^{+\infty}f'(t)~dt\\&\\&\left|\int_{a}^{+\infty}f'(t)\sin t~dt\right|\leq f(a) -\lim\limits_{t\to+\infty}f(t)\\&\\&\left|\int_{a}^{+\infty}f'(t)\sin t~dt\right|\leq f(a)\\&\\&\color{Blue}{\text{Retornemos a }\int_{a}^{+\infty}f(t)\cos t ~dt= -f(a)\sin a-\int_{a}^{+\infty}f'(t)\sin t~dt}\\&\\&\left|\int_{a}^{+\infty}f(t)\cos t ~dt\right|= \left|-f(a)\sin a-\int_{a}^{+\infty}f'(t)\sin t~dt\right|\\&\\&\left|\int_{a}^{+\infty}f(t)\cos t ~dt\right|= \left|f(a)\sin a+\int_{a}^{+\infty}f'(t)\sin t~dt\right|\\&\\&\left|\int_{a}^{+\infty}f(t)\cos t ~dt\right|\leq |f(a)\sin a|+\left|\int_{a}^{+\infty}f'(t)\sin t~dt\right|\\&\\&\left|\int_{a}^{+\infty}f(t)\cos t ~dt\right|\leq 2 f(a)\\&\\&\textbf{L.Q.Q.D}\end{align}$$

Con la otra función seno se hace lo mismo