¿Cómo hacer Área en un ángulo entre los dos lados cuando son iguales, con longitud , de un triángulo isósceles es θ?.

Dividís el triangulo por la vertical y te quedan triángulos rectángulos iguales.

El area de cada uno = base x altura/2 = s sen (theta/2) x s cos ( theta/2)/2

Area total = s^2 sen ( theta/2) cos ( theta/2) = s^2 / 2 {sen ( theta)}

dA/dt = dA/d theta  x  d theta/ dt

dA/d theta = s^2 / 2 { cos theta}

dA/dt = s^2 /2 {cos theta} .  0.5 rad/min.

Para angulo = pi/6  y pi/3 lo hallas en cada caso resolviendo la expresión de arriba.

El cambio de área no es constante con el cambio de angulo porque la superficie barrida depende de s^2. O sea no es lineal.

Dividamos al triángulo isósceles en dos triángulos rectángulos simétricos y razonemos el Área de uno de los triángulos (luego multiplicamos por 2 y tenemos el área total del isósceles).

Llamemos h al adyacente (por altura); b/2 al opuesto (por mitad de base), s al radio vector (que es constante) y O al ángulo.

A=(b/2) * (h) * (1/2);  para el área del triángulo rectángulo.

Sen O = (b/2) / s;   b= 2s * Sen O;

Cos O = h/s;  h = s * Cos O;  reemplazo en el área:

A = [(2s*Sen O ) / 2 ] * (s * Cos O) * (1/2);

A = (1/2) * s^2 * (Sen O * Cos O); que es el área de cada triángulo rectángulo;

El área del triángulo isósceles será el doble:

A(isósceles) = s^2 * (Sen O * Cos O)

Pero como:  2*SenO * CosO = Sen (2O);  y 2O es el ángulo del isósceles:  θ

A (isósceles) = (1/2) * s^2 * Sen θ;  que es tu primera consigna.

dA / dθ = (1/2)*s^2 * cos θ;  (atención aquí:  s es una constante;  θ es la variable).

Si θ = Pi / 6;  (o 30°):  dA / dθ = (1/2) * s^2 * (1/2);  dA/dθ = s^2/4;

Si θ = Pi / 3;  (o 60°):  dA / dθ = (1/2) * s^2 * V3 / 2;  o:  (1/4) * s^2 * V3;  siendo V3 raíz cuadrada de 3.

Vemos que el Área no varía linealmente con el ángulo porque la razón de cambio del área es función del Seno del ángulo y no del ángulo linealmente.