Geometría Euclideana
Saludos Eudemo...
Tengo este problema el cual no he podido resolver...
- Se da un círculo y 2 rectas no secantes con el círculo. Hallar el camino más corto para ir de una recta a la otra tocando el círculo.
Creo que necesito una construcción auxiliar, pero no logro ver cual, tal vez la bisectriz del ángulo que se forma con las 2 rectas no secantes... Espero pronta respuesta y sea cual sea, te aseguro una buena puntuación, gracias de antemano.
Tengo este problema el cual no he podido resolver...
- Se da un círculo y 2 rectas no secantes con el círculo. Hallar el camino más corto para ir de una recta a la otra tocando el círculo.
Creo que necesito una construcción auxiliar, pero no logro ver cual, tal vez la bisectriz del ángulo que se forma con las 2 rectas no secantes... Espero pronta respuesta y sea cual sea, te aseguro una buena puntuación, gracias de antemano.
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Respuesta de eudemo
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Por el centro del círculo dado se traza una paralela a la bisectriz hasta cortar a la circunferencia. Este punto de intersección (tomando la intersección que esta más cerca a las rectas) es el punto buscado
Justificación
Para simplificar un poco el problema trazamos las rectas tangentes a la circunferencia que son paralelas a las rectas dadas( las lamaremos m y n). Si comparamos la distancia de un punto P de la circunferencia a una recta dada con la distancia de P a una paralela, evidentemente difieren en una constante. Por lo tanto el problema se reduce a buscar el punto de la circunferencia en el cual es mínima la suma de las distancias a dos rectas tangentes a dicha circunferencia. ¿Llamemos O al centro de la circunferencia y sean A y B a los dos puntos de tangencia con las rectas m y n. Evidentemente OA es perpendicular a m y OB es perpendicular a n . Si tomamos un punto P cualquiera de la circunferencia la distancia entre P y la recta m es P´ A donde P´es la proyección ortogonal de P sobre OA y vale R? R cos ( alfa ) donde R es el radio de la circunferencia y alfa es el angulo entra OA y OP
¿Análogamente la distancia entre P y recta n es P´ B donde P´es la proyección ortogonal de P sobre OB y vale R? R cos ( beta ) donde R es el radio de la circunferencia y alfa es el ángulo entre OB y OP.
La suma de las distancias es entonces:
d1+d2 = R ?R cos ( beta ) + R ?R cos ( alfa )
d1+d2 = 2 R ? R [cos( alfa )+cos (beta)]
Pero
alfa+beta=AOB
y entonces es
d1+d2= 2 R ? R [cos(alfa)+ cos(AOB - alfa)]
Di+d2 se hace mínimo cuando el corcheta se hace máximo y
[cos( alfa )+cos (AOB - alfa)]
Se hace maximo cuando alfa= AOB? Alfa es decir cuando
Alfa = AOB/2 es decir cuando P esta sobre la paralela a la bisectriz
Justificación
Para simplificar un poco el problema trazamos las rectas tangentes a la circunferencia que son paralelas a las rectas dadas( las lamaremos m y n). Si comparamos la distancia de un punto P de la circunferencia a una recta dada con la distancia de P a una paralela, evidentemente difieren en una constante. Por lo tanto el problema se reduce a buscar el punto de la circunferencia en el cual es mínima la suma de las distancias a dos rectas tangentes a dicha circunferencia. ¿Llamemos O al centro de la circunferencia y sean A y B a los dos puntos de tangencia con las rectas m y n. Evidentemente OA es perpendicular a m y OB es perpendicular a n . Si tomamos un punto P cualquiera de la circunferencia la distancia entre P y la recta m es P´ A donde P´es la proyección ortogonal de P sobre OA y vale R? R cos ( alfa ) donde R es el radio de la circunferencia y alfa es el angulo entra OA y OP
¿Análogamente la distancia entre P y recta n es P´ B donde P´es la proyección ortogonal de P sobre OB y vale R? R cos ( beta ) donde R es el radio de la circunferencia y alfa es el ángulo entre OB y OP.
La suma de las distancias es entonces:
d1+d2 = R ?R cos ( beta ) + R ?R cos ( alfa )
d1+d2 = 2 R ? R [cos( alfa )+cos (beta)]
Pero
alfa+beta=AOB
y entonces es
d1+d2= 2 R ? R [cos(alfa)+ cos(AOB - alfa)]
Di+d2 se hace mínimo cuando el corcheta se hace máximo y
[cos( alfa )+cos (AOB - alfa)]
Se hace maximo cuando alfa= AOB? Alfa es decir cuando
Alfa = AOB/2 es decir cuando P esta sobre la paralela a la bisectriz
