-x^2+8x-7-6ln(x)=0

Efectivamente tienes razón tenemos dos soluciones si las representas, comprobarás que la Y(1), tiene dos puntos de corte con el eje POR, en X=1 y X=7, la parábola va hacia abajo. Mientras que el ln, es creciente comenzando desde el cero (donde tiende a menos infinito) y corta el eje POR en X=1. Por lo tanto, X=1 es una solución y la otra, que no es un número entero se encuentra entre 4 y 5. Es correcto la solución que has hallado.

No me extrañan que no sepas resolverla en general estas ecuaciones no se pueden resolver al menos de forma algebraica. La única forma es geométricamente, es decir, divide la ec en dos ecs.:
y(1)=-x^2+8x-7
y(2)=6lnx
y comprueba ahora donde se cruzan.
Nota: fíjate que -x^2+8x-7=6lnx, entonces y(1)=y(2), el cambio de signo de y(2).