Varias dudas sobre operaciones matemáticas con números complejos
(Creo que esta paradoja es conocida)
En el cuerpo de los complejos:
1=sqrt(-1*-1)=sqrt(-1)*sqrt(-1)=i*i=-1 ????????
No puedo darme cuenta donde esta el error... Puedes ayudarme??
PS:sqrt() es la "raiz cuatrada"
* es el signo multiplicacion.
i es un imaginario puro
En el cuerpo de los complejos:
1=sqrt(-1*-1)=sqrt(-1)*sqrt(-1)=i*i=-1 ????????
No puedo darme cuenta donde esta el error... Puedes ayudarme??
PS:sqrt() es la "raiz cuatrada"
* es el signo multiplicacion.
i es un imaginario puro
1 Respuesta
Respuesta de eudemo
1
sqrt(-1)*sqrt(-1)=i*i <<<<<< aqui esta el error
No debo reemplazar sqrt(-1) por i, como si fuera una identidad.
Sqrt(-1) será en ocasiones igual a i y en otras ocasiones será igual a -i
...
Veamos un ejemplo parecido donde no aparece i en forma explicita :
2=sqrt(4)= sqrt(-2*-2)=sqrt(-2)* sqrt(-2)= [sqrt(-2)]^2=-2
¿Por lo tanto 2=-2 ????
a) Si pensamos sqrt(4) como raíz de la ecuación x^2=4, hay dos soluciones x=2 y x=-2 y no es correcto poner 2=sqrt(4) si luego voy a poner 4=(-2)^2 y simplificar la raíz
b) Si optamos por definir sqrt(4) como la raíz positiva solamente, entonces 2=+sqrt(4) seria por definición correcto pero entonces no esta bien cancelar la raíz con el cuadrado.
Otro ejemplo
5/3 Pi=Arco sen 1/2 =1/3 Pi
5/3=1/3???
Volviendo a nuestro
sqrt(-1)*sqrt(-1)=i*i
Reemplazar sqrt(-1) por i porque -1=i^2
es como afirmar que
-1=(x)^2 => x=i
lo que no es cierto porque la implicación va en el otro sentido.
x=i => -1=(x)^2 sí es correcto
x=-i => -1=(x)^2 también es correcto
...
Lo que yo puedo afirmar con seguridad es que i^2=-1
y que x^2=-1 tiene dos raíces que son x=i y x=-i. Eso no implica i=-i ni que 1=-1
Conclusión
No se debe reemplazar, alegremente, sqrt(-1) por i
No debo reemplazar sqrt(-1) por i, como si fuera una identidad.
Sqrt(-1) será en ocasiones igual a i y en otras ocasiones será igual a -i
...
Veamos un ejemplo parecido donde no aparece i en forma explicita :
2=sqrt(4)= sqrt(-2*-2)=sqrt(-2)* sqrt(-2)= [sqrt(-2)]^2=-2
¿Por lo tanto 2=-2 ????
a) Si pensamos sqrt(4) como raíz de la ecuación x^2=4, hay dos soluciones x=2 y x=-2 y no es correcto poner 2=sqrt(4) si luego voy a poner 4=(-2)^2 y simplificar la raíz
b) Si optamos por definir sqrt(4) como la raíz positiva solamente, entonces 2=+sqrt(4) seria por definición correcto pero entonces no esta bien cancelar la raíz con el cuadrado.
Otro ejemplo
5/3 Pi=Arco sen 1/2 =1/3 Pi
5/3=1/3???
Volviendo a nuestro
sqrt(-1)*sqrt(-1)=i*i
Reemplazar sqrt(-1) por i porque -1=i^2
es como afirmar que
-1=(x)^2 => x=i
lo que no es cierto porque la implicación va en el otro sentido.
x=i => -1=(x)^2 sí es correcto
x=-i => -1=(x)^2 también es correcto
...
Lo que yo puedo afirmar con seguridad es que i^2=-1
y que x^2=-1 tiene dos raíces que son x=i y x=-i. Eso no implica i=-i ni que 1=-1
Conclusión
No se debe reemplazar, alegremente, sqrt(-1) por i
El problema es que en el campo complejo sqrt(-1) no tiene valor único.
Específicamente sqrt(-1) pude ser i o puede ser -i
En efecto
i^2=-1
y también
(-i)^2=-1
Entonces
sqrt(-1)*sqrt(-1)
podría ser
i*i
o también
(-i)*(-i)
o también
(-i)*i
o también
i*(-i)
es decir podría dar tanto uno como menos uno
Eso no quiere decir que
1=-1
Sino que
sqrt(-1)*sqrt(-1)
No es una expresión univoca sino que como cualquier raíz compleja tiene varios valores .En este caso dos
(Si fuera una raíz cúbica serian tres, etc)
Conclusión: ojo con las raíces en el campo complejo
Específicamente sqrt(-1) pude ser i o puede ser -i
En efecto
i^2=-1
y también
(-i)^2=-1
Entonces
sqrt(-1)*sqrt(-1)
podría ser
i*i
o también
(-i)*(-i)
o también
(-i)*i
o también
i*(-i)
es decir podría dar tanto uno como menos uno
Eso no quiere decir que
1=-1
Sino que
sqrt(-1)*sqrt(-1)
No es una expresión univoca sino que como cualquier raíz compleja tiene varios valores .En este caso dos
(Si fuera una raíz cúbica serian tres, etc)
Conclusión: ojo con las raíces en el campo complejo
Se llaman funciones multiformes
Ok, sabemos que las raíces en los complejos son multivaluadas, pero eso no responde a mi pregunta.
Me estás diciendo entonces que 1=1 v 1=-1,... entonces me dejas en las mismas.
Quiero saber en qué paso se está el error en la secuencia.
Gracias por tu paciencia.
Me estás diciendo entonces que 1=1 v 1=-1,... entonces me dejas en las mismas.
Quiero saber en qué paso se está el error en la secuencia.
Gracias por tu paciencia.
Trngo esta pregunta esta sin cerrar como pendiente
Ok, estamos claros que esta ecuación no está correcta, y que la raíz en los complejos es multivaluada, y que no es correcto reemplazar sqrt(-1)=i. ¡Pero cuándo se puede utilizar!
Pero sqrt(-1)=i, entonces ¿porqué no es correcto usarlo en este caso? ¿cómo me puedo dar cuenta de que debo usar sqrt(-1)=i ó sqrt(-1)=-i?.
No me aclaraste la pregunta de manera analítica, sólo de manera intuitiva (que ya era clara)..
Pero gracias por tu tiempo y dedicación
Pero sqrt(-1)=i, entonces ¿porqué no es correcto usarlo en este caso? ¿cómo me puedo dar cuenta de que debo usar sqrt(-1)=i ó sqrt(-1)=-i?.
No me aclaraste la pregunta de manera analítica, sólo de manera intuitiva (que ya era clara)..
Pero gracias por tu tiempo y dedicación
