Demostración

La segunda condición
sinx/siny = sina/sinb
Implica que:
sinx.sinb = sina.siny (1)
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La primer condición
x+y = pi-(a+b)
implica que:
x+y+a+b = pi
y resulta que:
(x+b) + (y+a) = pi
Por lo tanto el ángulo (x+b) y el ángulo (y+a) son suman pi y al ser suplementarios se cumple que:
sen(x+b) = sen(y+a)
Aplicando el seno de una suma es:
senx.cosb + cosy.senb = seny.cosa + cosy.sena (2)
Ahora dividimos miembro a miembro la (2) por la (1):
(senx.cosb+cosy.senb)/(sinx.sinb) = (seny.cosa+ cosy.sena)/(sena.seny)
Distribuyendo y simplificando nos queda
cosx/senx+senb/senb = cosy/seny+sena/cosa
entonces
1/(senx/cosx)+1/(senb/cos/b)= 1/(seny/cosy)+1/(sena/cosa)
1/tanx+1/tanb= 1/tany)+1/tana
y reordenando queda:
1/tanx-1/tany=1/tana-1/tanb
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En estos problemas hay que poner cuidado en que las condiciones deben implicar los resultados y no al revés.