Aplicación de la integral(solido de revolución)
Hola, necesito extrema ayuda para el siguiente problema:
La Leminscata (x^2+y^2)^2=(a^2)(x^2-y^2) gira alrededor del eje de abscisas. Hallar el volumen del cuerpo limitado por la superficie engendrada.
Se supone que tengo que sacar mi función, pero en el momento que quiero despejar mi "y" pues se hace algo complicado, necesito que me ayuden a resolver este problema, o si tienen algún material que pueda ser de ayuda, se los agradecería mucho.
La Leminscata (x^2+y^2)^2=(a^2)(x^2-y^2) gira alrededor del eje de abscisas. Hallar el volumen del cuerpo limitado por la superficie engendrada.
Se supone que tengo que sacar mi función, pero en el momento que quiero despejar mi "y" pues se hace algo complicado, necesito que me ayuden a resolver este problema, o si tienen algún material que pueda ser de ayuda, se los agradecería mucho.
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Respuesta de eudemo
1
No acostumbro resolver ejercicios pero en este caso entiendo que hay las dificultades que te detienen.
Verás que, por engorroso que parezca, todo es cuestión de lanzarse, ya que en general, alguna simplificación aparece y la cosa no resulta tan terrible.
La ecuación es
(x^2+y^2)^2=(a^2)(x^2-y^2)
expandiendo el cuadrado tenemos:
x^4+4 x^2.y^2+y^4=(a^2)(x^2-y^2)
Es un ecuación de segundo grado en y^2.
Agrupando es
y^4+(2x^2 + a^2)y^2 ? a^2 x^2 + x^4=0
y^4+(2x^2 + a^2)y^2+ (x^4- a^2 x^2 )=0
Podemos despejar y^2, aplicando la fórmula para ecuaciones de segundo grado. Calculemos primero el discriminante b^2-4ac
(2x^2+a^2)^2 - 4 x^4+4 a^2.x^2=
=4 x^4+4 a^2.x^2+a^4 - 4 x^4+ 4 a^2.x^2=
=8x^2 a^2+a^4
Entonces la solución para y^2 es :
y^2 = -x^2-a^2/2+- a/2 Raíz[8x^2+a^2]
Como y^2 debe ser positivo , solo podemos usar el signo positivo de la raíz. Entonces
y^2 = -x^2-a^2/2 + a/2 Raíz[8x^2+a^2]
y^2 = a/2 Raíz[8x^2+a^2] - x^2-a^2/2
No saco la raíz para hallar y porque en realidad para el volumen es y^2 lo que voy a usar
Volumen = Integral Pi y^2 dx
¿La curva tiene dos lóbulos que se extienden uno entre 0 y a y el otro entre 0 y?a.
Volumen = Pi Integral y^2 dx entre ?a y a
Pero por simetría tomo un solo lóbulo multiplicado por dos
Volumen = 2 Pi Integral y^2 dx entre 0 y a
Volumen = 2 Pi Integral a/2 Raíz[8x^2+a^2]-x^2.-a^2/2 dx entre 0 y a
Volumen = Pi Integral a Raíz[8x^2+a^2]-2 x^2.- a^2 dx entre 0 y a
Como esta expresión es homogénea, haciendo un cambio de variable
x=a.t queda
Volumen = a ^2 Pi Integral Raíz[8t^2+1]-2 t^2.- 1 dt entre 0 y 1
O se que el volumen es proporcional al cuadrado de a, ya que la constante a es una especie de factor de escala para por e y. Lo que también podíamos haber hecho era tomar desde un principio a =1 y multiplicar el resultado final por a^2. Bueno, te dejo los detalles de la integral porque aparecen muchos paréntesis y raíces que son difíciles de poner aquí. Numéricamente, si no me equivoqué en nada, el resultado es :
Volumen = a^2 Pi . 0.144946 = 0.910722 . a^2
Suerte
Eudemo
Verás que, por engorroso que parezca, todo es cuestión de lanzarse, ya que en general, alguna simplificación aparece y la cosa no resulta tan terrible.
La ecuación es
(x^2+y^2)^2=(a^2)(x^2-y^2)
expandiendo el cuadrado tenemos:
x^4+4 x^2.y^2+y^4=(a^2)(x^2-y^2)
Es un ecuación de segundo grado en y^2.
Agrupando es
y^4+(2x^2 + a^2)y^2 ? a^2 x^2 + x^4=0
y^4+(2x^2 + a^2)y^2+ (x^4- a^2 x^2 )=0
Podemos despejar y^2, aplicando la fórmula para ecuaciones de segundo grado. Calculemos primero el discriminante b^2-4ac
(2x^2+a^2)^2 - 4 x^4+4 a^2.x^2=
=4 x^4+4 a^2.x^2+a^4 - 4 x^4+ 4 a^2.x^2=
=8x^2 a^2+a^4
Entonces la solución para y^2 es :
y^2 = -x^2-a^2/2+- a/2 Raíz[8x^2+a^2]
Como y^2 debe ser positivo , solo podemos usar el signo positivo de la raíz. Entonces
y^2 = -x^2-a^2/2 + a/2 Raíz[8x^2+a^2]
y^2 = a/2 Raíz[8x^2+a^2] - x^2-a^2/2
No saco la raíz para hallar y porque en realidad para el volumen es y^2 lo que voy a usar
Volumen = Integral Pi y^2 dx
¿La curva tiene dos lóbulos que se extienden uno entre 0 y a y el otro entre 0 y?a.
Volumen = Pi Integral y^2 dx entre ?a y a
Pero por simetría tomo un solo lóbulo multiplicado por dos
Volumen = 2 Pi Integral y^2 dx entre 0 y a
Volumen = 2 Pi Integral a/2 Raíz[8x^2+a^2]-x^2.-a^2/2 dx entre 0 y a
Volumen = Pi Integral a Raíz[8x^2+a^2]-2 x^2.- a^2 dx entre 0 y a
Como esta expresión es homogénea, haciendo un cambio de variable
x=a.t queda
Volumen = a ^2 Pi Integral Raíz[8t^2+1]-2 t^2.- 1 dt entre 0 y 1
O se que el volumen es proporcional al cuadrado de a, ya que la constante a es una especie de factor de escala para por e y. Lo que también podíamos haber hecho era tomar desde un principio a =1 y multiplicar el resultado final por a^2. Bueno, te dejo los detalles de la integral porque aparecen muchos paréntesis y raíces que son difíciles de poner aquí. Numéricamente, si no me equivoqué en nada, el resultado es :
Volumen = a^2 Pi . 0.144946 = 0.910722 . a^2
Suerte
Eudemo
