Calculo vectorial
Hola amigo quisiera que me ayudes en un problemita de funciones vectoriales de variable real :
·) ¿Desde qué punto P(x, y) sobre la parábola (y)^(2)= 4px (supuesta en el plano vertical) debe caer un cuerpo para que sin velocidad inicial se desprenda en el extremo (p, 2p) del lado recto?
NOTA: la respuesta es (4p, 4p); amigo experto por favor por lo menos dame una idea de como poder resolver este problema, si lo resuelves de otra manera no hay problema.
·) ¿Desde qué punto P(x, y) sobre la parábola (y)^(2)= 4px (supuesta en el plano vertical) debe caer un cuerpo para que sin velocidad inicial se desprenda en el extremo (p, 2p) del lado recto?
NOTA: la respuesta es (4p, 4p); amigo experto por favor por lo menos dame una idea de como poder resolver este problema, si lo resuelves de otra manera no hay problema.
Respuesta de eudemo
1
Al vector aceleración de un móvil lo podemos descomponer en una componente en dirección de la velocidad y
una componente normal a la velocidad instantáneas.
Estas son las:
Componentes intrínsecas de la aceleración.
**************************************
La componente normal a la velocidad es igual a
An=V^2/R
Donde V es el módulo de la velocidad
R: Es el radio de curvatura de la trayectoria por la cual se desplaza el móvil.
Para el movimiento circular esto es bien conocido.
En ese caso R es el radio de la circunferencia, pero la expresión vale para cualquier trayectoria si tomamos a R como su radio de curvatura.
(Se demuestra de forma simple y elegante con solo derivar el producto del módulo de V por el versor de V )
Aplicando el principio de masa F=m.A
La fuerza F es el peso P = m.g más la reacción de vinculo N de la curva por la que se desliza
P+N=m.A
Pero en el caso límite en que el cuerpo se esta por desprender de la curva es N=0 y entonces es:
P = m.A
Si ahora proyectamos sobre la normal a la trayectoria nos queda
m g cos(alfa)= m An
m se simplifica:
g cos(alfa) = An
finalmente la condición es
g R cos(alfa) = V^2
Pero por conservación de la energia es:
1/2 mV^2 = m g (y-yo)
V^2 = 2 g (y-yo)
Reemplazando queda:
g R cos(alfa) = 2 g (y-yo)
g se simplifica:
R cos(alfa) = 2(y-yo)
*******************
Cálculo del coseno de alfa:
La tangente de alfa es la derivada de y es decir y´
El coseno se puede poner en función de la tangente con lo cual es:
cos(alfa)=1/(1+y´^2)^(1/2)
Cálculo del radio de curvatura
La expresión del radio de curvatura de una curva es :
R=(1+y´^2)^(3/2) / y´´
Si hacemos el producto R.cos(alfa) resulta
R.cos(alfa)= (1+y´^2) /y´´
En este caso es
y= 2p^(1/2). x^(1/2)
y´= p^(1/2). x^(-1/2)
y´´=-1/2 p^(1/2). x^(-3/2)
Como en el punto de desprendimiento es x=p tenemos que
y= 2p^(1/2) p^(1/2) = 2p
y´= p^(1/2) x^(-1/2) = 1
y´´= -(1/2) p^(1/2) x^(-3/2)= -1/(2p)
R.cos(alfa) = (1+y´^2)/y´´
R.cos(alfa) = (1+1)/[-1/(2x)]=-4p
La condición R cos(alfa) = 2(y-yo) queda:
-4p= 2(y-yo)
Pero la y del punto final vale 2p
-4p= 2(2p - yo)
Solo queda despejar la ordenada inicial de partida yo
-2p= (2p - yo)
yo=4p
* * * * * * * * *
Nota : el radio de curvatura R es un invariante de la curva así que tiene que dar los mismo calcularlo en
y=f(x)= 2p^(1/2) p^(1/2)
o calcularlo en
x=f(y) = (1/4p) y^2
una componente normal a la velocidad instantáneas.
Estas son las:
Componentes intrínsecas de la aceleración.
**************************************
La componente normal a la velocidad es igual a
An=V^2/R
Donde V es el módulo de la velocidad
R: Es el radio de curvatura de la trayectoria por la cual se desplaza el móvil.
Para el movimiento circular esto es bien conocido.
En ese caso R es el radio de la circunferencia, pero la expresión vale para cualquier trayectoria si tomamos a R como su radio de curvatura.
(Se demuestra de forma simple y elegante con solo derivar el producto del módulo de V por el versor de V )
Aplicando el principio de masa F=m.A
La fuerza F es el peso P = m.g más la reacción de vinculo N de la curva por la que se desliza
P+N=m.A
Pero en el caso límite en que el cuerpo se esta por desprender de la curva es N=0 y entonces es:
P = m.A
Si ahora proyectamos sobre la normal a la trayectoria nos queda
m g cos(alfa)= m An
m se simplifica:
g cos(alfa) = An
finalmente la condición es
g R cos(alfa) = V^2
Pero por conservación de la energia es:
1/2 mV^2 = m g (y-yo)
V^2 = 2 g (y-yo)
Reemplazando queda:
g R cos(alfa) = 2 g (y-yo)
g se simplifica:
R cos(alfa) = 2(y-yo)
*******************
Cálculo del coseno de alfa:
La tangente de alfa es la derivada de y es decir y´
El coseno se puede poner en función de la tangente con lo cual es:
cos(alfa)=1/(1+y´^2)^(1/2)
Cálculo del radio de curvatura
La expresión del radio de curvatura de una curva es :
R=(1+y´^2)^(3/2) / y´´
Si hacemos el producto R.cos(alfa) resulta
R.cos(alfa)= (1+y´^2) /y´´
En este caso es
y= 2p^(1/2). x^(1/2)
y´= p^(1/2). x^(-1/2)
y´´=-1/2 p^(1/2). x^(-3/2)
Como en el punto de desprendimiento es x=p tenemos que
y= 2p^(1/2) p^(1/2) = 2p
y´= p^(1/2) x^(-1/2) = 1
y´´= -(1/2) p^(1/2) x^(-3/2)= -1/(2p)
R.cos(alfa) = (1+y´^2)/y´´
R.cos(alfa) = (1+1)/[-1/(2x)]=-4p
La condición R cos(alfa) = 2(y-yo) queda:
-4p= 2(y-yo)
Pero la y del punto final vale 2p
-4p= 2(2p - yo)
Solo queda despejar la ordenada inicial de partida yo
-2p= (2p - yo)
yo=4p
* * * * * * * * *
Nota : el radio de curvatura R es un invariante de la curva así que tiene que dar los mismo calcularlo en
y=f(x)= 2p^(1/2) p^(1/2)
o calcularlo en
x=f(y) = (1/4p) y^2
