Si un subespacio vectorial V de Rn no contiene a ninguno de los vectores
Hola !!! V o F
me explicas con un ejemplo?
Si un subespacio vectorial V de Rn no contiene a ninguno de los vectores de la base canónica de Rn entonces V ={ vector nulo 0}
Saludos!!!
1 respuesta
Es falso. La mayoría de los subespacios de Rn no contienen ninguno de los vectores de la base canónica.
Sea R3, consideramos el espacio generado por el vector (1,1,0) es imposible obtener los vectores (1,0,0) o (0,1,0) o (0,0,1) como combinación lineal del (1,1,0)
Vamos a hacerlo con 2 vectores. Sea V el espacio generado por (1,2,2) y (2,1,3)
intentamos conseguir (1,0,0)
a(1,2,2) + b(2,1,3) =(1,0,0)
a+2b=1
2a+b=0
2a+3b=0
Si a la tercera le restamos la segunda
2b=0
b=0
y entonces en la segunda
2a+0=0
a=0
pero entonces en la primera quedaría
0+2·0 = 1
0=1
luego (1,0,0) no pertenece a V
Intentamos ahora obtener (0,1,0)
a+2b=0
2a+b=1
2a+3b=0
Si a la tercera la restamos la segunda
2b=-1
b = -1/2
2a-1/2 = 1
2a= 3/2
a=3/4
y si ahora vamos a la primera
3/4 - 2(1/2) = 0
3/4 - 1 = 0
-1/4=0
absurdo, luego (0,1,0) no pertenece a V
y finalmente veremos que (0,0,1) tampoco pertenece a V
a+2b=0
2a+b=0
2a+3b=1
restamos segunda a tercera
2b = 1
b=1/2
vamos a la segunda
2a +1/2 = 0
2a=-1/2
a =-1/4
y ahora vamos a la primera
-1/4 + 2(1/2) = 0
-1/4 +1 = 0
3/4 = 0
Absurdo.
Luego ahi tienes un espacio de dimensión 2 que no contiene a ninguno de los vectores de la base canónica.
Y eso es todo.
