Geo analítica
Que tal, tengo la siguiente consulta:
¿Cómo encuentro la ecuación de la elipse si me dan a conocer los focos y su excentricidad?
Gracias, suerte!
¿Cómo encuentro la ecuación de la elipse si me dan a conocer los focos y su excentricidad?
Gracias, suerte!
Respuesta de gilillo
1
Sea "e" la excentricidad de la elipse, sea F1(x1, y1) y F2(x2, y2) las coordenadas de los focos.
La solución que te voy a dar es suponiendo que el eje mayor de la elipse es paralelo al eje "X", lo que significa que las coordenadas en "Y" de los focos es la misma (y1 = y2).
No se a partir de que fórmulas puedes partir, yo encontré estas:
Sea:
2a = longitud del eje mayor
2b = longitud del eje menor
excentricidad = e = raiz( a^2 - b^2) / a
Sea C(pero, yo) las coordenadas del centro de la elipse, es decir el punto medio entre los focos, o sea que:
xo = (x1 + x2)/2
yo = y1 = y2 (porque el eje mayor es paralelo al eje "x")
COn todo esto tengo esta ecuacion para encontrar la elipse:
((x - xo )^2)/a^2 + ((y - yo )^2)/b^2 = 1
Ya tenemos pero y yo en función de datos que conocemos, solo nos falta "a" y "b".
Para encontrarlos usaré esta fórmula que me calcula la distancia entre el centro de la elipse y cualquiera de los focos:
Dcf (distancia centro foco) = raiz( a^2 - b^2)
También podemos calcular directamente la distancia entre el centro y el foco porque conocemos sus coordenadas.
Dcf = x2 - xo = x2 - (x1 + x2)/2 = (2*x2 - x1 - x2) / 2 = (x2 - x1)/2
Esto lo igualamos con la otra formula
(x2 - x1)/2 = raiz( a^2 - b^2)
Y sustituimos esto en la expresión para la excentricidad:
e = (x2 - x1) / 2a
Despejamos "a"
a = (x2 - x1) / 2e
Sustituimos nuevamente este valor de "a" en la expresión de excentricidad y despejamos "b"
e = raiz( a^2 - b^2) / a
reacomodando:
b = a*raiz(1 - e^2) = raiz(1 - e^2) * (x2 - x1)/2e
Ya tenemos pero, yo, a y b en función de los datos que conocemos, solo es cuestión de sustituir.
La solución que te voy a dar es suponiendo que el eje mayor de la elipse es paralelo al eje "X", lo que significa que las coordenadas en "Y" de los focos es la misma (y1 = y2).
No se a partir de que fórmulas puedes partir, yo encontré estas:
Sea:
2a = longitud del eje mayor
2b = longitud del eje menor
excentricidad = e = raiz( a^2 - b^2) / a
Sea C(pero, yo) las coordenadas del centro de la elipse, es decir el punto medio entre los focos, o sea que:
xo = (x1 + x2)/2
yo = y1 = y2 (porque el eje mayor es paralelo al eje "x")
COn todo esto tengo esta ecuacion para encontrar la elipse:
((x - xo )^2)/a^2 + ((y - yo )^2)/b^2 = 1
Ya tenemos pero y yo en función de datos que conocemos, solo nos falta "a" y "b".
Para encontrarlos usaré esta fórmula que me calcula la distancia entre el centro de la elipse y cualquiera de los focos:
Dcf (distancia centro foco) = raiz( a^2 - b^2)
También podemos calcular directamente la distancia entre el centro y el foco porque conocemos sus coordenadas.
Dcf = x2 - xo = x2 - (x1 + x2)/2 = (2*x2 - x1 - x2) / 2 = (x2 - x1)/2
Esto lo igualamos con la otra formula
(x2 - x1)/2 = raiz( a^2 - b^2)
Y sustituimos esto en la expresión para la excentricidad:
e = (x2 - x1) / 2a
Despejamos "a"
a = (x2 - x1) / 2e
Sustituimos nuevamente este valor de "a" en la expresión de excentricidad y despejamos "b"
e = raiz( a^2 - b^2) / a
reacomodando:
b = a*raiz(1 - e^2) = raiz(1 - e^2) * (x2 - x1)/2e
Ya tenemos pero, yo, a y b en función de los datos que conocemos, solo es cuestión de sustituir.
