Ayuda con un ejercicio de matemáticas de polinomio de coeficientes complejos

Un problema muy bonito. La respuesta se obtiene así.
Si la ecuación tiene una raíz real x=b, al sustituir por por b en la ecuación tendrá que obtenerse 0 (cero). Es decir el nímero 0+0i.
Por tanto, la parte imaginaria de la ecuación para x=b será
-b^2i+6bi+16i que si tiene que ser 0i, sólo los valores de b tales que cumplen
-b^2+6b+16=0 pueden ser raíces reales de tu ecuación.
Esta ecuación en b es de segundo grado con raíces b=8 y b=-2.
Entonces: sustituyendo x=8 en la ecuación de partida se obtiene:
64a+536=0 con lo cual a=67/8 (no entero)
en cambio, sustituyendo x=-2 se obtiene
4a-4=0 que se satisface para a=1 (entero).
Por tanto para a=1 tu ecuación tiene la raiz real x=-2.
En concreto, para a=1, las raíces son:
x1=-2, x2=2-2i, x3=-1+3i.