¿Puedes ayudarme a resolver este problema matemático sobre dos maquinas limpiadoras de nieve?
Amigo, no se si has escuchado del problema de las 2 maquinas limpiadoras de nieve.
Un día comenzó a nevar exactamente a mediodía con una velocidad grande y constante.
Una maquina limpiadora de nieve sale a la 1 pm a limpiar y otra sale a las 2 pm y sigue su rastro, también limpiando la capa de nieve.
¿En qué momento la segunda maquina alcanza a la primera?
Suponga que la velocidad de cada maquina
(millas/hora) es inversamente proporcional a la altura de la capa de nieve encontrada, y por tanto al tiempo transcurrido desde que el camino no tenia nieve.
Sugerencia: Comience escribiendo las ecuaciones diferenciales para x(t) y y(t), que son las distancias (millas) que recorren la primera y segunda maquina "t" horas después del mediodía.
Para resolver la ecuación diferencial que implica a "y" considere a "t" no a "y" como la variable dependiente!
Amigo bocasmar
Para la primera maquina me tome el atrevimiento de plantear:
Altura de nieve h=Kt
Donde QUE es la rata de aumento de altura de nieve respecto al tiempo.
La velocidad de la maquina sera:
dx/dt= B/(Kt)
donde B es una constante de proporcionalidad, por lo tanto:
dx/dt= A/t donde A=B/K
dx= A dt / t
x=A ln t + C
0=A ln 1 + C
C=0
Luego: x= A ln t es el espacio recorrido por la primera maquina
Dan la siguiente ayuda:
dt/dy = (dt/dx) * (dx/dy)
Por favor si me puedes ayudar a resolver este problema te quedo infinitamente agradecido.
Un día comenzó a nevar exactamente a mediodía con una velocidad grande y constante.
Una maquina limpiadora de nieve sale a la 1 pm a limpiar y otra sale a las 2 pm y sigue su rastro, también limpiando la capa de nieve.
¿En qué momento la segunda maquina alcanza a la primera?
Suponga que la velocidad de cada maquina
(millas/hora) es inversamente proporcional a la altura de la capa de nieve encontrada, y por tanto al tiempo transcurrido desde que el camino no tenia nieve.
Sugerencia: Comience escribiendo las ecuaciones diferenciales para x(t) y y(t), que son las distancias (millas) que recorren la primera y segunda maquina "t" horas después del mediodía.
Para resolver la ecuación diferencial que implica a "y" considere a "t" no a "y" como la variable dependiente!
Amigo bocasmar
Para la primera maquina me tome el atrevimiento de plantear:
Altura de nieve h=Kt
Donde QUE es la rata de aumento de altura de nieve respecto al tiempo.
La velocidad de la maquina sera:
dx/dt= B/(Kt)
donde B es una constante de proporcionalidad, por lo tanto:
dx/dt= A/t donde A=B/K
dx= A dt / t
x=A ln t + C
0=A ln 1 + C
C=0
Luego: x= A ln t es el espacio recorrido por la primera maquina
Dan la siguiente ayuda:
dt/dy = (dt/dx) * (dx/dy)
Por favor si me puedes ayudar a resolver este problema te quedo infinitamente agradecido.
1 respuesta
Respuesta de bocasmar
1
Me gusta mucho este problema que planteas. Es agradable que alguien, de vez en cuando, proponga un problema interesante.
Creo que he encontrado la solución. Es la siguiente:
1. Lo que tu has hecho para la primera máquina (maquina1) está bien.
- Planteas la ecuación diferencial de x(t) correctamente.
- La resuelves bien x(t) = A*ln(t) + C
- Aplicas las condiciones iniciales bien y obtienes x(t) = A*ln(t). ¡Perfecto!
Hay que tener en cuenta que esta solución es válida para t>1 (con lo cual el logaritmo no da problemas).
Además es una solución razonable pues la máquina1 cada vez encuentra más nieve y cada vez va más despacio.
2. Ahora hay que establecer la ecuación e la segunda máquina (máquina2).
- Su velocidad en un punto "y" de su recorrido también será inversamente proporcional a la altuta de la nieve en ese punto: dy/dt=B/(K*tt). Donde tt es el tiempo transcurrido desde que pasa la máquina1 por ese punto "y" hasta que pasa por el mismo punto "y" la máquina2.
- Para saber el tiempo t1 de paso de la máquina1 por el punto "y" hay que usar la ecuación x=A*ln(t) y poner x=y. Con ello se obtiene: y=A*ln(t1). Con lo cual t1=exp(y/A).
- El tiempo de paso de la máquina2 por el punto "y" es el tiempo en curso del problema... esto es t.
- Por tanto tt=t-exp(y/A) y la ecuación diferencial de la máquina2 es:
dy/dt= B/{K*[t-exp(y/A)]} = A/[t-exp(y/A)]
3. Para resolverla se dan la vuelta a las variables y se escribe (esto es de lo más normal en vez de hallar y=y(t) se calcula t=t(y)):
dt/dy= [t-exp(y/A)]/A.
- Escribiendo esta ecuación así: dt/dy -(1/A)*t = - exp(y/A)/A se observa que es una ecuación diferencial "lineal" (como las que te expliqué el otro día... ¿sabrás resolverla? ) cuya solución es: t(y) = (2-y/A)*exp(y/A).
4. Ahora hay que pensar un poquito.
- Supongamos que la máquina2 alcanza a la máquina1 en el instante T.
- En ese instante la máquina1 esta en el punto X=A*ln(T). y la máquina2 en el punto Y tal que T= (2-Y/A)*exp(Y/A).
- Hay que extraer el valor de T de estas ecuaciones, lo cual es fácil pues sabemos que las máquimas están en el mismo punto, esto es: X=Y.
- Por tanto, sustituyendo en la segunda ecuación Y=A*ln(T) se obtiene:
T= (2-A*ln(T)/A)*exp(A*ln(T)/A) = (2-ln(T))*T.
- Diviendo por T se tiene: 1=2-ln(T) ==> ln(T) = 1 ==> T=e (el número e).
5. Las máquinas se encuentran cuando han transcurrido e=2,7182... horas desde el mediodía. (Es razonable que sea independiente se A).
- Si se calcula la posición de las máquinas en ese momento:
máquina1 x=A*ln(e) = A.
máquina2 e= (2-y/A)*exp(y/A) (si y=x=A) se satisface e=(2-A/A)*exp(A/A) = (2-1)*exp(1) = e ¡Correcto!
Las dos máquinas están en A.
Ánimo.
Creo que he encontrado la solución. Es la siguiente:
1. Lo que tu has hecho para la primera máquina (maquina1) está bien.
- Planteas la ecuación diferencial de x(t) correctamente.
- La resuelves bien x(t) = A*ln(t) + C
- Aplicas las condiciones iniciales bien y obtienes x(t) = A*ln(t). ¡Perfecto!
Hay que tener en cuenta que esta solución es válida para t>1 (con lo cual el logaritmo no da problemas).
Además es una solución razonable pues la máquina1 cada vez encuentra más nieve y cada vez va más despacio.
2. Ahora hay que establecer la ecuación e la segunda máquina (máquina2).
- Su velocidad en un punto "y" de su recorrido también será inversamente proporcional a la altuta de la nieve en ese punto: dy/dt=B/(K*tt). Donde tt es el tiempo transcurrido desde que pasa la máquina1 por ese punto "y" hasta que pasa por el mismo punto "y" la máquina2.
- Para saber el tiempo t1 de paso de la máquina1 por el punto "y" hay que usar la ecuación x=A*ln(t) y poner x=y. Con ello se obtiene: y=A*ln(t1). Con lo cual t1=exp(y/A).
- El tiempo de paso de la máquina2 por el punto "y" es el tiempo en curso del problema... esto es t.
- Por tanto tt=t-exp(y/A) y la ecuación diferencial de la máquina2 es:
dy/dt= B/{K*[t-exp(y/A)]} = A/[t-exp(y/A)]
3. Para resolverla se dan la vuelta a las variables y se escribe (esto es de lo más normal en vez de hallar y=y(t) se calcula t=t(y)):
dt/dy= [t-exp(y/A)]/A.
- Escribiendo esta ecuación así: dt/dy -(1/A)*t = - exp(y/A)/A se observa que es una ecuación diferencial "lineal" (como las que te expliqué el otro día... ¿sabrás resolverla? ) cuya solución es: t(y) = (2-y/A)*exp(y/A).
4. Ahora hay que pensar un poquito.
- Supongamos que la máquina2 alcanza a la máquina1 en el instante T.
- En ese instante la máquina1 esta en el punto X=A*ln(T). y la máquina2 en el punto Y tal que T= (2-Y/A)*exp(Y/A).
- Hay que extraer el valor de T de estas ecuaciones, lo cual es fácil pues sabemos que las máquimas están en el mismo punto, esto es: X=Y.
- Por tanto, sustituyendo en la segunda ecuación Y=A*ln(T) se obtiene:
T= (2-A*ln(T)/A)*exp(A*ln(T)/A) = (2-ln(T))*T.
- Diviendo por T se tiene: 1=2-ln(T) ==> ln(T) = 1 ==> T=e (el número e).
5. Las máquinas se encuentran cuando han transcurrido e=2,7182... horas desde el mediodía. (Es razonable que sea independiente se A).
- Si se calcula la posición de las máquinas en ese momento:
máquina1 x=A*ln(e) = A.
máquina2 e= (2-y/A)*exp(y/A) (si y=x=A) se satisface e=(2-A/A)*exp(A/A) = (2-1)*exp(1) = e ¡Correcto!
Las dos máquinas están en A.
Ánimo.
Amigo Bocasmar, de verdad que si en el primer problema de la ecuación diferencial lineal, me descrestaste, en este si que me dejaste perplejo.
Tu capacidad de raciocinio es sencillamente excelente. Me demore en contestarte pues quería pegarle una revisada muy minuciosa al problema (te confieso tratando de encontrar algún error). No lo hay.
Este problema era muy importante para mi, pues debo explicárselo a mi hijo, para la Universidad.
Como me doy cuenta que te fascinan las matemáticas "duras", te voy a enviar luego un par de problemas que llevo sin exagerarte casi 20 años sin poderlos resolver, ni saber quien pueda.
Pues no hay puntuación mayor a Excelente.
Hasta Pronto.
Tu capacidad de raciocinio es sencillamente excelente. Me demore en contestarte pues quería pegarle una revisada muy minuciosa al problema (te confieso tratando de encontrar algún error). No lo hay.
Este problema era muy importante para mi, pues debo explicárselo a mi hijo, para la Universidad.
Como me doy cuenta que te fascinan las matemáticas "duras", te voy a enviar luego un par de problemas que llevo sin exagerarte casi 20 años sin poderlos resolver, ni saber quien pueda.
Pues no hay puntuación mayor a Excelente.
Hasta Pronto.
