Sean a, b, c racionales, c>0 y raíz cuadrada de c irracional. Debo probar: 1)para todo n natural (a+b*raiz de c)^n = A+B*raiz de c con A y B racionales, y entonces (a-b*raiz de c)^n =A-B*raiz de c 2)Si P(x)es un polinomio de grado n, P perteneciente a Q[X]: probar que si (a+b*raíz cuadrada de c) es raíz de P(x) entonces a-b*raíz de c también lo es.
Un problema bonito el que planteas: Esta basado en la aplicación del binomio de Newton (a+b)^n. (También llamado la potencia del binomio). Como sabrás: (a+b)^n = (n n) a^n + (n n-1) a^(n-1) b+ (n n-2) a^(n-2) b^2+ ... + (n 1) a b^(n-1) + (n 0) b^n. donde (s t) ( t entre s y 0) es el número combinatorio s!/(t!(s-t)!) 1.Ahora si aplicamos esto a tu desarrollo tenemos: (a +b.sqrt(c))^n = (n n) a^n + (n n-1) a^(n-1) b.sqrt(c)+ (n n-2) a^(n-2) ) (b.sqrt(c))^2 + ... + (n 1) a (b.sqrt(c))^(n-1) + (n 0) (b.sqrt(c))^n. 2.Aquí hay términos racionales: cuando el exponente de b.sqrt(c) es par y se puede quitar la raíz. Supongamos que es es par, entonces a^(n-s) (b. Sqrt(c))^s es igual a a^(n-s) b^s. c^(s/2). Recuerda que s es par. La suma de todos estos términos es la A de tu expresión 3.Y términos irracionales cuando el exponente es impar y no se puede quitar la raíz, aquí si el exponente es r (impar) entonces r-1 es par y la expresión del término es: a^(n-r) (b.sqrt(c))^r = a^(n-r) b^r.(sqrt(c))^r = a^(n-r) b^r.c^((r-1)/2).(sqrt(c)). La suma de todos estos términos (sacando factor común sqrt(c)) da lugar al término B. sqrt(c)) 4. Cuando se tiene (a-b. Sqrt(c))^n podemos poner esta expresión como (a+(-b). Sqrt(c))^n. La expresión ahora es: (a +((-b).sqrt(c)))^n = (n n) a^n + (n n-1) a^(n-1) ((-b).sqrt(c))+ (n n-2) a^(n-2) ) ((-b).sqrt(c))^2 + ... + (n 1) a ((-b).sqrt(c))^(n-1) + (n 0) ((-b).sqrt(c))^n. 5 Entonces los términos que dan lugar al término A siguen siendo iguales pues al tener exponente par se tiene: a^(n-s) ((-b).sqrt(c))^s es igual a a^(n-s)(-b)^s. c^(s/2). = a^(n-s) b^s. c^(s/2). 6 En los que dan lugar al término B, en cambio. Hay cambio de signo: a^(n-r) ((-b).sqrt(c))^r= a^(n-r) (-b)^r.c^((r-1)/2).(sqrt(c)).= -a^(n-r) b^r.c^((r-1)/2).(sqrt(c)). La suma de todos ellos, Obviamente es, -Bsqrt(c). Segunda cuestión Si a+bsqrt(c) es raíz de P(x) quiere decir que P(a+b·sqrt(c)) = 0. Si P(x) = an*x^n + a(n-1)*x^(n-1)+...+a1*x+a0. Quiere decir que: an*(a+bsqrt(c))^n + a(n-1)*(a+b·sqrt(c))^(n-1)+ ...+a1*(a+bsqrt(c)) +a0=0 (igual a cero) pero: (a+b·sqrt(c)) ^n =AN+BN·sqrt(c), (a+b·sqrt(c))^(n-1)=(AN-1)+(BN-1)sqrt(c), etc . Por tanto hacienda eso en todos los términos y sumando los que tienen sqrt(c) por un lado y los que no lo tienen por otro se obtiene: an*(a+bsqrt(c)) ^n + a(n-1)* (a+bsqrt(c)) ^(n-1)+ ...+a1*(a+bsqrt(c)) +a0=AA+BB.sqrt(C) y a la vez igual a cero por tanto AA=0 y BB=0. Si en vez de a+b·sqrt(c) se sustituye por a-b. Sqrt(c) se obtiene AA-BB. Sqrt(C) que también es cero y por tanto a- b.sqrt(c) es raíz de P(x). Espero que esté claro si tienes alguna duda no dejes de preguntar.