Polinomios
Sean a, b, c racionales, c>0 y raíz cuadrada de c irracional.
Debo probar:
1)para todo n natural (a+b*raiz de c)^n = A+B*raiz de c con A y B racionales, y entonces (a-b*raiz de c)^n =A-B*raiz de c
2)Si P(x)es un polinomio de grado n, P perteneciente a Q[X]: probar que si (a+b*raíz cuadrada de c) es raíz de P(x) entonces a-b*raíz de c también lo es.
Debo probar:
1)para todo n natural (a+b*raiz de c)^n = A+B*raiz de c con A y B racionales, y entonces (a-b*raiz de c)^n =A-B*raiz de c
2)Si P(x)es un polinomio de grado n, P perteneciente a Q[X]: probar que si (a+b*raíz cuadrada de c) es raíz de P(x) entonces a-b*raíz de c también lo es.
Respuesta de bocasmar
1
Un problema bonito el que planteas: Esta basado en la aplicación del binomio de Newton (a+b)^n. (También llamado la potencia del binomio).
Como sabrás:
(a+b)^n =
(n n) a^n +
(n n-1) a^(n-1) b+
(n n-2) a^(n-2) b^2+
... +
(n 1) a b^(n-1) +
(n 0) b^n.
donde (s t) ( t entre s y 0) es el número combinatorio
s!/(t!(s-t)!)
1.Ahora si aplicamos esto a tu desarrollo tenemos:
(a +b.sqrt(c))^n =
(n n) a^n +
(n n-1) a^(n-1) b.sqrt(c)+
(n n-2) a^(n-2) ) (b.sqrt(c))^2 +
... +
(n 1) a (b.sqrt(c))^(n-1) +
(n 0) (b.sqrt(c))^n.
2.Aquí hay términos racionales: cuando el exponente de b.sqrt(c) es par y se puede quitar la raíz. Supongamos que es es par, entonces
a^(n-s) (b. Sqrt(c))^s es igual a
a^(n-s) b^s. c^(s/2).
Recuerda que s es par. La suma de todos estos términos es la A de tu expresión
3.Y términos irracionales cuando el exponente es impar y no se puede quitar la raíz, aquí si el exponente es r (impar) entonces r-1 es par y la expresión del término es:
a^(n-r) (b.sqrt(c))^r =
a^(n-r) b^r.(sqrt(c))^r =
a^(n-r) b^r.c^((r-1)/2).(sqrt(c)).
La suma de todos estos términos (sacando factor común sqrt(c)) da lugar al término B. sqrt(c))
4. Cuando se tiene (a-b. Sqrt(c))^n podemos poner esta expresión como
(a+(-b). Sqrt(c))^n.
La expresión ahora es:
(a +((-b).sqrt(c)))^n =
(n n) a^n +
(n n-1) a^(n-1) ((-b).sqrt(c))+
(n n-2) a^(n-2) ) ((-b).sqrt(c))^2 +
... +
(n 1) a ((-b).sqrt(c))^(n-1) +
(n 0) ((-b).sqrt(c))^n.
5 Entonces los términos que dan lugar al término A siguen siendo iguales pues al tener exponente par se tiene:
a^(n-s) ((-b).sqrt(c))^s
es igual a a^(n-s)(-b)^s. c^(s/2). =
a^(n-s) b^s. c^(s/2).
6 En los que dan lugar al término B, en cambio. Hay cambio de signo:
a^(n-r) ((-b).sqrt(c))^r=
a^(n-r) (-b)^r.c^((r-1)/2).(sqrt(c)).=
-a^(n-r) b^r.c^((r-1)/2).(sqrt(c)).
La suma de todos ellos, Obviamente es,
-Bsqrt(c).
Segunda cuestión
Si a+bsqrt(c) es raíz de P(x) quiere decir que P(a+b·sqrt(c)) = 0.
Si P(x) = an*x^n + a(n-1)*x^(n-1)+...+a1*x+a0.
Quiere decir que:
an*(a+bsqrt(c))^n +
a(n-1)*(a+b·sqrt(c))^(n-1)+
...+a1*(a+bsqrt(c)) +a0=0 (igual a cero)
pero:
(a+b·sqrt(c)) ^n =AN+BN·sqrt(c),
(a+b·sqrt(c))^(n-1)=(AN-1)+(BN-1)sqrt(c), etc .
Por tanto hacienda eso en todos los términos y sumando los que tienen
sqrt(c) por un lado y los que no lo tienen por otro se obtiene:
an*(a+bsqrt(c)) ^n +
a(n-1)* (a+bsqrt(c)) ^(n-1)+
...+a1*(a+bsqrt(c)) +a0=AA+BB.sqrt(C) y a la vez igual a cero por tanto AA=0 y BB=0.
Si en vez de a+b·sqrt(c) se sustituye por a-b. Sqrt(c) se obtiene
AA-BB. Sqrt(C) que también es cero y por tanto a- b.sqrt(c) es raíz de P(x).
Espero que esté claro si tienes alguna duda no dejes de preguntar.
Como sabrás:
(a+b)^n =
(n n) a^n +
(n n-1) a^(n-1) b+
(n n-2) a^(n-2) b^2+
... +
(n 1) a b^(n-1) +
(n 0) b^n.
donde (s t) ( t entre s y 0) es el número combinatorio
s!/(t!(s-t)!)
1.Ahora si aplicamos esto a tu desarrollo tenemos:
(a +b.sqrt(c))^n =
(n n) a^n +
(n n-1) a^(n-1) b.sqrt(c)+
(n n-2) a^(n-2) ) (b.sqrt(c))^2 +
... +
(n 1) a (b.sqrt(c))^(n-1) +
(n 0) (b.sqrt(c))^n.
2.Aquí hay términos racionales: cuando el exponente de b.sqrt(c) es par y se puede quitar la raíz. Supongamos que es es par, entonces
a^(n-s) (b. Sqrt(c))^s es igual a
a^(n-s) b^s. c^(s/2).
Recuerda que s es par. La suma de todos estos términos es la A de tu expresión
3.Y términos irracionales cuando el exponente es impar y no se puede quitar la raíz, aquí si el exponente es r (impar) entonces r-1 es par y la expresión del término es:
a^(n-r) (b.sqrt(c))^r =
a^(n-r) b^r.(sqrt(c))^r =
a^(n-r) b^r.c^((r-1)/2).(sqrt(c)).
La suma de todos estos términos (sacando factor común sqrt(c)) da lugar al término B. sqrt(c))
4. Cuando se tiene (a-b. Sqrt(c))^n podemos poner esta expresión como
(a+(-b). Sqrt(c))^n.
La expresión ahora es:
(a +((-b).sqrt(c)))^n =
(n n) a^n +
(n n-1) a^(n-1) ((-b).sqrt(c))+
(n n-2) a^(n-2) ) ((-b).sqrt(c))^2 +
... +
(n 1) a ((-b).sqrt(c))^(n-1) +
(n 0) ((-b).sqrt(c))^n.
5 Entonces los términos que dan lugar al término A siguen siendo iguales pues al tener exponente par se tiene:
a^(n-s) ((-b).sqrt(c))^s
es igual a a^(n-s)(-b)^s. c^(s/2). =
a^(n-s) b^s. c^(s/2).
6 En los que dan lugar al término B, en cambio. Hay cambio de signo:
a^(n-r) ((-b).sqrt(c))^r=
a^(n-r) (-b)^r.c^((r-1)/2).(sqrt(c)).=
-a^(n-r) b^r.c^((r-1)/2).(sqrt(c)).
La suma de todos ellos, Obviamente es,
-Bsqrt(c).
Segunda cuestión
Si a+bsqrt(c) es raíz de P(x) quiere decir que P(a+b·sqrt(c)) = 0.
Si P(x) = an*x^n + a(n-1)*x^(n-1)+...+a1*x+a0.
Quiere decir que:
an*(a+bsqrt(c))^n +
a(n-1)*(a+b·sqrt(c))^(n-1)+
...+a1*(a+bsqrt(c)) +a0=0 (igual a cero)
pero:
(a+b·sqrt(c)) ^n =AN+BN·sqrt(c),
(a+b·sqrt(c))^(n-1)=(AN-1)+(BN-1)sqrt(c), etc .
Por tanto hacienda eso en todos los términos y sumando los que tienen
sqrt(c) por un lado y los que no lo tienen por otro se obtiene:
an*(a+bsqrt(c)) ^n +
a(n-1)* (a+bsqrt(c)) ^(n-1)+
...+a1*(a+bsqrt(c)) +a0=AA+BB.sqrt(C) y a la vez igual a cero por tanto AA=0 y BB=0.
Si en vez de a+b·sqrt(c) se sustituye por a-b. Sqrt(c) se obtiene
AA-BB. Sqrt(C) que también es cero y por tanto a- b.sqrt(c) es raíz de P(x).
Espero que esté claro si tienes alguna duda no dejes de preguntar.
