Pirámide

Vamos con el problema.
Hay que recordar que el volumen de una pirámide es:
v=1/3*A*h, donde:
A es el área de la base, h la altura de la pirámide.
En este caso la base es un hexágono que, aunque no lo dices, supongo es regular. Entonces el área de un hexágono el el producto del perímetro (suma de las longitudes de los lados) por la apotema (distancia del centro del hexágono al centro de uno de los lados) y dividido entre dos:
(perímetro*apotema)/2
Bien vamos a poner nombres.
El vértice de la pirámide se llama V.
El centro del hexágono se llama O.
Un vértice del hexágono de la base se llama A, uno de los vértices contiguos al anterior se llama B.
El centro del lado AB se llama C.
El triángulo OAB es equilátero y todos sus lados valen 2 dm.
En el triángulo OAC se tiene:
OA = 2 dm, AC = 1 dm y OC = sqrt(3) por Pitágoras (ésta es la apotema).
Ahora vamos a calcular la apotema y el lado de la sección recta de la pirámide por un plano paralelo a la base y a 5 dm de ésta.
Tomamos el triángulo COV, con CO = sqrt(3) dm. y OV= 20 dm.
trazando una recta paralela a oc a 5 dm de OC tenemos:
Corte de esa recta con OV es el punto E y corte con VC es el punto F. Queremos calcular la apotema de la sección que es EF.
Por semejanza de triángulos tenemos:
EF/VE = CO/VO, esto es: EF/15 = sqrt(3)/20.
Con lo cual EF= 15*sqrt(3)/20 = sqrt(3)*3/4. (ya tenemos la apotema de la sección).
Ahora calcular el lado del exágono de la sección.
Sea el triángulo AOV con AO = 2 dm y OV = 20 dm.
La sección del plano corta al lado OV en el mismo punto E de antes y al lado AV en el punto F.
Queremos calcular Eg que es igual al lado del exágono del la sección.
Por semenjanza de triángulos:
GE/VE = AO/VO, esto es GE/15=2/20 por tanto GE = 30/20 = 3/2. (este es el lado del exágono de la sección).
Por tanto el área de la sección es:
perímetro = 3/2 * 6 = 9
apotema = sqrt(3)*3/4
El area es S= [9*(sqrt(3)*3/4)]/2 = 27*sqrt(3)/8.
El volumen de la piramede superior es:
V= 1/3 * 27*sqrt(3)/8 * 15 = 135*sqrt(3)/8.
Esto es todo.