Problema aplicacioni ecuacionies diferenciales
Que tal Eudemo:
Tengo un problema con un ejercicio planteado en el libro de Calculo diferencial e integral de granville:
DICE: "La aceleración de un hombre que desciende en un paracaídas desde un globo estacionario es: 9.8-1/90(v^2) m/s^2, siendo v la velocidad en m/s. Si llega al suelo en 1 minuto demostrar que la altura del globo es un poco más de 290m."
El inconveniente esta en que lo tratamos de plantear por el artificio donde se plantea que Y=u+v donde u es una función complementaria; pero nos resultan ecuaciones muy complejas de resolverlas y que no nos llevan a determinar los coeficientes para hallar la solución.
Tengo un problema con un ejercicio planteado en el libro de Calculo diferencial e integral de granville:
DICE: "La aceleración de un hombre que desciende en un paracaídas desde un globo estacionario es: 9.8-1/90(v^2) m/s^2, siendo v la velocidad en m/s. Si llega al suelo en 1 minuto demostrar que la altura del globo es un poco más de 290m."
El inconveniente esta en que lo tratamos de plantear por el artificio donde se plantea que Y=u+v donde u es una función complementaria; pero nos resultan ecuaciones muy complejas de resolverlas y que no nos llevan a determinar los coeficientes para hallar la solución.
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Respuesta de eudemo
1
Esta ecuación se puede resolver simplemente por separación de variables
Como la aceleración es la derivada de la velocidad respecto del tiempo es
Aceleración =dv/dt
Y entonces
dv/dt = 9.8-1/90 v^2
v = Integral (9.8-1/90 v^2 ) dt
Esta integral es de la forma
v = Integral (a^2-b^2 v^2 ) dt con a= Raiz(9.8) y b =Raiz(1/90)
Cuya solución es
v = 1/(ab) ArcTanh (bv/a)
Donde ArcTanh es la función arco tangente hiperbólica que cumple con la condición de ser v=0 para t = 0.
Ahora como tenemos la expresión de la velocidad en función del tiempo, simplemente la integramos para obtener la expresión de la altura en función del tiempo.
La integral indefinida de ArcTanh(x) es igual a x ArcTanh(x)+1/2 Ln(x^2-1)
Con lo cual el problema está resuelto
Como la aceleración es la derivada de la velocidad respecto del tiempo es
Aceleración =dv/dt
Y entonces
dv/dt = 9.8-1/90 v^2
v = Integral (9.8-1/90 v^2 ) dt
Esta integral es de la forma
v = Integral (a^2-b^2 v^2 ) dt con a= Raiz(9.8) y b =Raiz(1/90)
Cuya solución es
v = 1/(ab) ArcTanh (bv/a)
Donde ArcTanh es la función arco tangente hiperbólica que cumple con la condición de ser v=0 para t = 0.
Ahora como tenemos la expresión de la velocidad en función del tiempo, simplemente la integramos para obtener la expresión de la altura en función del tiempo.
La integral indefinida de ArcTanh(x) es igual a x ArcTanh(x)+1/2 Ln(x^2-1)
Con lo cual el problema está resuelto
