Anónimo
Urgente, es de vida o muerte!
¿Hola cómo estas? Quisiera que me ayudes a resolver un problema de matemáticas, me lo dieron en las olimpíadas y la verdad que no lo comprendo:
"dado un numero natural, la operación legal es la siguiente secuencia de 4 pasos:1) suprimir el ultimo dígito de la derecha;2) escribir el dígito suprimido como primer dígito de la izquierda;3) multiplicar por 9;4) dividir por 2.por ejemplo, el resultado de aplicar la operación legal a 425 es 9.542/2=2439.
Diremos que un numero natural"n"es especial si el resultado de aplicarle a"n"la operación legal es el mismo numero natural"n".
Una computadora hizo la lista de todos los números especiales de hasta 2000 cifras, ordenados de menor a mayor. Hallar los 10 primeros números de esa lista."
Muchas gracias y espero tu respuesta al problema..
"dado un numero natural, la operación legal es la siguiente secuencia de 4 pasos:1) suprimir el ultimo dígito de la derecha;2) escribir el dígito suprimido como primer dígito de la izquierda;3) multiplicar por 9;4) dividir por 2.por ejemplo, el resultado de aplicar la operación legal a 425 es 9.542/2=2439.
Diremos que un numero natural"n"es especial si el resultado de aplicarle a"n"la operación legal es el mismo numero natural"n".
Una computadora hizo la lista de todos los números especiales de hasta 2000 cifras, ordenados de menor a mayor. Hallar los 10 primeros números de esa lista."
Muchas gracias y espero tu respuesta al problema..
1 Respuesta
Respuesta de javierpl
1
Es un poco tarde pero a ver si te sirve.
Hay que sacar una regla para saber como son estos números. Como al principio no se tiene ni idea se hace probando:
De una cifra solo vale el 0. Cualquier número al darle la vuelta se queda como está y al multiplicarlo por 4.5 varía seguro.
De dos cifras el número sería xy que se puede poner como 10x + y. La relación sería:
10x+y = 4'5(10y+x) ------- 44x=5'5y ------- sólo se cumple con y=8 x=1 ------ n=81
De tres cifras:
100x+10y+z=4'5(100z+10x+y) --------- 55x+5'5y=449z ------- Ya empezamos a deducir algo. Por ejemplo z que son las unidades no puede valer más de 1 porque si no 55x no llega nunca a igualar a 449z. Es decir el número tiene que acabar en 1. Por otra parte la cifra de las decenas (y) tiene que ser par para quitar los decimales. Así 5'5y vale 11,22,33 o 44. Además por tendría que ser 8 máximo dado que 9 se pasa y 7 no llega. En estas condiciones con tres cifras no hay ninguno.
De cuatro cifras:
1000x + 100y +10z + t = 4'5(1000t + 100x + 10y +z) resulta
550x + 55y + 5'5z = 4499t . Bueno sabemos que t tiene que valer 1, que z es par y por lo tanto 5'5z es 11,22,33 o 44, que x tiene que valer 8 para que pueda dar 4499. Por tanto n es 8181
Lo comprobamos y vemos que 1818*4.5=8181
Luego tenemos el 81 y el 8181 y ya estamos capacitados para hacer todos los que queramos: 818181, 81818181, 8181818181, etc.
Hay que sacar una regla para saber como son estos números. Como al principio no se tiene ni idea se hace probando:
De una cifra solo vale el 0. Cualquier número al darle la vuelta se queda como está y al multiplicarlo por 4.5 varía seguro.
De dos cifras el número sería xy que se puede poner como 10x + y. La relación sería:
10x+y = 4'5(10y+x) ------- 44x=5'5y ------- sólo se cumple con y=8 x=1 ------ n=81
De tres cifras:
100x+10y+z=4'5(100z+10x+y) --------- 55x+5'5y=449z ------- Ya empezamos a deducir algo. Por ejemplo z que son las unidades no puede valer más de 1 porque si no 55x no llega nunca a igualar a 449z. Es decir el número tiene que acabar en 1. Por otra parte la cifra de las decenas (y) tiene que ser par para quitar los decimales. Así 5'5y vale 11,22,33 o 44. Además por tendría que ser 8 máximo dado que 9 se pasa y 7 no llega. En estas condiciones con tres cifras no hay ninguno.
De cuatro cifras:
1000x + 100y +10z + t = 4'5(1000t + 100x + 10y +z) resulta
550x + 55y + 5'5z = 4499t . Bueno sabemos que t tiene que valer 1, que z es par y por lo tanto 5'5z es 11,22,33 o 44, que x tiene que valer 8 para que pueda dar 4499. Por tanto n es 8181
Lo comprobamos y vemos que 1818*4.5=8181
Luego tenemos el 81 y el 8181 y ya estamos capacitados para hacer todos los que queramos: 818181, 81818181, 8181818181, etc.
Muchísimas gracias, me sirvió para entender un poco más el ejercicio, tu respuesta no fue tarde fue en el momento justo, besitos, gracias.