Funcion implicita aplicacion
Buenas es mi primer pregunta aquí ^^.
Bueno mi problema es con el tema de función implícita, en el siguiente ejercicio. Desde ya agradezco su ayuda.
1ero)Probar que la ecuacion xy^2+4x^2y-12=0 determina a y como funcion implicita de x alrededor del punto (1,2). LLamaremos ?(x) a esa funcion.
2do) Hallar la ecuacion de la recta tangente al grafico y=?(x) en (1,2).
Desde ya gracias.
Bueno mi problema es con el tema de función implícita, en el siguiente ejercicio. Desde ya agradezco su ayuda.
1ero)Probar que la ecuacion xy^2+4x^2y-12=0 determina a y como funcion implicita de x alrededor del punto (1,2). LLamaremos ?(x) a esa funcion.
2do) Hallar la ecuacion de la recta tangente al grafico y=?(x) en (1,2).
Desde ya gracias.
1 Respuesta
Respuesta de eleanorboots
1
1ero)
montamos la función f(x,y)=xy^2+4x^2y-12
Aplicamos teorema de la función implícita local (entorno al punto 1,2):
Condiciones
1) f(1,2)=0
vemos que se cumple la primera condición cuando sustituimos x=1 e y=2 en la función que hemos montado
2) F pertenece a C^r; r>1
Vemos que se cumple la segunda condición dado que se trata de un polinomio (los polinomios son C infinito)
3) Det Dyf(1,2) diferente de 0
(En general el determinante de la derivada de la función que hemos montado respecto la/s variable/s que pasan a ser funciones evaluada en el punto debe ser diferente de 0, en este caso Dyf(1,2) )
La derivada respecto de y de la función es:
Dyf(x,y)= 2xy + 4x^2
evaluamos en (1,2):
Dyf(1,2)= 2·1·2 + 4·1 = 8 diferente de cero
se cumple la tercera condición.
Se han cumplido nuestras tres condiciones, podemos afirmar tres consecuencias:
Consecuencias
1) Existe g(x) = y(x) [es decir, existe una función que vamos a llamar g(x) y que corresponde a y como función implicita de x]
2) g(x) pertenece a C^r ; r>1
3) Dg(1,2) = -(Dyf(1,2))^-1 · Dxf(1,2)
2do)
La ecuación de la recta tangente al gráfico de g(x) en el pto (1,2) será de la forma y=mx+n
sabemos que el pendiente (m) de la recta en el pto (1,2) es la derivada de la función en éste punto. Pero no podemos derivar la función g(x) dado que no la tenemos. Vamos a usar la tercera consecuencia, que nos da Dg(1,2) sin saber g(x)!
Anteriormente ya hemos calculado Dyf(1,2)= 8
calcularemos ahora Dxf(1,2):
Primero derivamos f(x, y) respecto de x
Dxf(x,y)= y^2 + 8xy
evaluamos en (1,2):
Dxf(1,2)= 2^2 + 8·1·2 = 20
Aplicamos la fórmula de la tercera consecuencia:
Dg(1,2) = -(Dyf(1,2))^-1 · Dxf(1,2)
Dg(1,2)= -1/8 · 20 = -20/8 = -5/2
éste es el pendiente (m) de la recta
Por lo tanto la ecuación de la recta será de la forma y=-5/2x + n
para encontrar el valor de m hace falta sólo sustituir un pto conocido de la recta (en éste caso (1,2)) en x e y:
2=(-5/2)·1 + n ---> n=9/2
ecuación de la recta:
y=-5/2x + 9/2
Espero que sea correcto, o aunque haya algún error numérico, te sirva la teoría.
montamos la función f(x,y)=xy^2+4x^2y-12
Aplicamos teorema de la función implícita local (entorno al punto 1,2):
Condiciones
1) f(1,2)=0
vemos que se cumple la primera condición cuando sustituimos x=1 e y=2 en la función que hemos montado
2) F pertenece a C^r; r>1
Vemos que se cumple la segunda condición dado que se trata de un polinomio (los polinomios son C infinito)
3) Det Dyf(1,2) diferente de 0
(En general el determinante de la derivada de la función que hemos montado respecto la/s variable/s que pasan a ser funciones evaluada en el punto debe ser diferente de 0, en este caso Dyf(1,2) )
La derivada respecto de y de la función es:
Dyf(x,y)= 2xy + 4x^2
evaluamos en (1,2):
Dyf(1,2)= 2·1·2 + 4·1 = 8 diferente de cero
se cumple la tercera condición.
Se han cumplido nuestras tres condiciones, podemos afirmar tres consecuencias:
Consecuencias
1) Existe g(x) = y(x) [es decir, existe una función que vamos a llamar g(x) y que corresponde a y como función implicita de x]
2) g(x) pertenece a C^r ; r>1
3) Dg(1,2) = -(Dyf(1,2))^-1 · Dxf(1,2)
2do)
La ecuación de la recta tangente al gráfico de g(x) en el pto (1,2) será de la forma y=mx+n
sabemos que el pendiente (m) de la recta en el pto (1,2) es la derivada de la función en éste punto. Pero no podemos derivar la función g(x) dado que no la tenemos. Vamos a usar la tercera consecuencia, que nos da Dg(1,2) sin saber g(x)!
Anteriormente ya hemos calculado Dyf(1,2)= 8
calcularemos ahora Dxf(1,2):
Primero derivamos f(x, y) respecto de x
Dxf(x,y)= y^2 + 8xy
evaluamos en (1,2):
Dxf(1,2)= 2^2 + 8·1·2 = 20
Aplicamos la fórmula de la tercera consecuencia:
Dg(1,2) = -(Dyf(1,2))^-1 · Dxf(1,2)
Dg(1,2)= -1/8 · 20 = -20/8 = -5/2
éste es el pendiente (m) de la recta
Por lo tanto la ecuación de la recta será de la forma y=-5/2x + n
para encontrar el valor de m hace falta sólo sustituir un pto conocido de la recta (en éste caso (1,2)) en x e y:
2=(-5/2)·1 + n ---> n=9/2
ecuación de la recta:
y=-5/2x + 9/2
Espero que sea correcto, o aunque haya algún error numérico, te sirva la teoría.
