Considerando la función tanh xdemuestre que:

Primero hallaremos la inversa de tanh(x)

$$\begin{align}&y= \frac{e^x-e^{-x}}{e^x+e^{-x}}\\ &\\ &\text {multiplicando y dividiendo por }e^x\\ &\\ &y = \frac{e^{2x}-1}{e^{2x}+1}\\ &\\ &ye^{2x}+y = e^{2x}-1\\ &\\ &ye^{2x}-e^{2x}=-1-y\\ &\\ &e^{2x}(y-1)= -(1+y)\\ &\\ &e^{2x} = -\frac{1+y}{y-1} = \frac{1+y}{1-y}\\ &\\ &\text{extraemos logaritmos neperianos}\\ &\\ &2x = ln\left( \frac{1+y}{1-y} \right)\\ &\\ &x = \frac 12 ln\left( \frac{1+y}{1-y} \right)\\ &\end{align}$$

Y una vez llegado aquí lo que se hace es cambiar la variable y por la variable x en la derecha y en la izquierda se pone la función inversa

$$\begin{align}&tanh^{-1}(x) = \frac 12 ln\left( \frac{1+x}{1-x} \right)\\ &\end{align}$$

Y ahora lo que hay que hacer es la derivada.

$$\begin{align}&\frac 12 \frac{1}{\frac{1+x}{1-x}}\frac{1-x+1+x}{(1-x)^2}=\\ &\\ &\\ &\frac 12 \frac{2}{(1+x)(1-x)}=\frac{1}{1-x^2}\end{align}$$

Y eso es todo.