Probar la siguiente desigualdad en los reales
Supongamos que
$$1\le p \lt s\lt r \lt \infty \text{ y además } a\in \mathbb R$$entonces se cumple que
$$a^s\le a^p+a^r$$
Ya intenté probar esto separando los casos
$$a\le 1, a\gt 1$$
Pero no me sale, cómo le hago?
1 Respuesta
Las funciones exponenciales con base positiva son siempre decrecientes o siempre decrecientes, bueno salvo la 1^x que es constante simple. Y para la cual se cumple ya que
1^s < 1p + 1^r
1 < 1+1
1 < 2
La derivada de una función exponencial es
f(x) = a^x
f '(x) = a^x · ln a
Como a^x es siempre positiva el signo depende de ln a
ln a > 0 si a >1
ln a < 0 si a < 1
Luego a^x es siempre creciente si a >1 y siempre decreciente si a<1
En el caso de ser siempre creciente como s<r tendremos
a^s < a^r
y le podemos sumar algo positivo a la derecha y se mantiene la desigualdad
a^s < a^p + a^r
Y en el caso de ser siempre decreciente como s > p
a^s < a^p
y podemos sumar a^r a la derecha
a^s < a^p + a^r
Y eso es todo.
