¿Ecuaciones Ordinarias de las Circunferencias?

1) Debe ponerse la ecuación en la forma

(x-h)^2 + (y-k)^2 - R^2 = 0

Y entonces el centro es (h, k)

El proceso para hacer eso se llama completar cuadrados

Tomamos los términos con x

x^2 - 8x

Esto son dos términos del binomio al cuadrado

(x -4)^2 = x^2 - 8x + 16

luego podemos poner

x^2 - 8x = (x-4)^2 - 16

Y tomamos los términos con la y y hacemos lo mismo

y^2 + 2y

ahora el binomio al cuadrado es

(y+1)^2 = y^2 + 2y +1

luego

y^2 + 2y = (y+1)^2 - 1

Sustituyendo los valores calculados en la ecuación de la circunferencia tendremos

(x-4)^2 - 16 + (y+1)^2 - 1 +1 = 0

(x-4)^2 + (y+1)^2 - 16 = 0

Luego

centro = (4, -1)

R^2 = 16

R=4

2) Hacemos los mismos cálculos pero ahora los hago ya directamente, se calcula el valor necesario para (x-h)^2 y para (y-k)^2.

H es la mitad del coeficiente de la x

K es la mitad del coeficiente de la y

E inmediatamente después de escribir (x-h)^2 le restamos h^2 para que no se olvide y después de escribir (y-k)^2 se resta k^2

Como el enunciado está muy arriba escribo aquí de nuevo la ecuación de partida

x^2 + y^2 + 2x + 4y - 11 = 0

y aplicando lo dicho queda

(x+1)^2 - 1 + (y+2)^2 - 4 -11 = 0

(x+1)^2 + (y+2)^2 - 16 = 0

Luego el centro es (-1, -2)

y el radio es sqrt(16) = 4

Y eso es todo, espero que te sirva y lo hayas entendido. Como te decía en otra pregunta aquí hay muchos ejercicios y lo normal es hacer uno por pregunta.

El 3 y el 4 te los puedo contestar en otra pregunta. Pero el 5 y el 6 pueden ser bastante laboriosos y tendrías que mandar cada uno en una pregunta.