¿Como se hace este ejercicio?
Construye un polinomio de grado 4 que tenga como raíces a v3, -v3, que sea divisible por c(x) = 3x + 1 y que al dividirlo por d(x) = x de como resto 9. Escribe las raíces restantes que no fueron dadas y su coeficiente principal.
1 Respuesta
La notación v3 o -v3 no se admite si no se explica. En un texto más complejo donde interviniera una variable v sería ambigua.
La forma estándar es más aparatosa pero es la forma estándar y es:
sqrt(3) y -sqrt(3)
Para facilitar la escritura usaré
r = sqrt(3)
Entonces el polinomio será
(x-r)(x+r)(3x+1)(ax+b) =
(x^2-r^2)(3x+1)(ax+b) =
(x^2-3)(3x+1)(ax+b) =
(3x^3 + x^2 - 9x - 3)(ax+b)
El resto de dividir por x es el coeficiente de grado cero.
que en este polinomio será -3b
-3b = 9
b = -3
Y el polinomio no es único, podemos tomar cualquier valor de a distinto de cero y nos da
(3x^3 + x^2 - 9x - 3)(ax-3) =
3ax^4 + ax^3 - 9ax^2 - 3ax - 9x^3 -3x^2 + 27x + 9 =
3ax^4 + (a-9)x^3 - (9a+3)x^2 + (27-3a)x + 9
Las raíces no dadas serán
de que era divisible por 3x+1 sale
3x+1 = 0
3x = -1
x = -1/3
Y de que es divisible por ax-3 sale
ax-3 = 0
ax = 3
x = 3/a
Luego las otras dos raíces son -1/3 y a/3
Y el coeficiente principal es 3a
Y eso es todo.
