Análisis matemático, ejercicios 2
sea A contenido en los reales, y A diferente de vacío, A acotado. Probar:
1) si x,y pertenece a A, entonces |x-y| <= sup A - infA
2) supremo (|x-y|: x,y pertenece a A) = sup A - infA
GRACIAS,
1)
Si x >= y tenemos
|x-y| = x-y
como el supremo es cota superior tenemos
i) x <= sup A
y como el ínfimo es cota inferior tenemos
y >= inf A
ii) -y <= - inf A
y sumando las desigualdades i y ii queda
x-y <= sup A - inf A
|x-y| = (x-y) <= sup A - inf A
Y si x < y tendremos
|x -y| = -(x-y) = y - x
como el supremo es cota superior tenemos
i) y <= sup A
y como el ínfimo es cota inferior tenemos
x >= inf A
ii) -x <= - inf A
y sumando las desigualdades i y ii queda
y-x <= sup A - inf A
|x-y| = (y-x) <= sup A - inf A
2) Ya hemos visto en el apartado 1) que Sup A - Inf A es una cota superior del conjunto
B = {|x-y|; con x,y € A}
para que sea el supremo tenemos que demostrar que es la menor cota superior.
Supongamos que existe una cota K de B y tal que
K < sup A - inf A
|x-y| <= K < sup A - inf A para todo x,y € A
x-y <= |x-y| <= K < sup A - inf A
i) x-y <= K < sup A - inf A
por ser el ínfimo tenemos
y <= inf A
ii) y <= inf A <= inf A
sumándo i) Y II) miembro a miembro tenemos
x <= K + inf A < sup A
Pero esto es absurdo porque hemos encontrado que K+inf A es una cota superior de A menor que su supremo. Luego no puede haber una cota K superior K estrictamente menor que sup A - inf A. Y entonces sup A - inf A es el supremo de B
Y eso es todo.
