Elementos de una cadena de markov

Mat 460!

a)

Los estados son

Dos fallos en los dos últimos lanzamientos (00)

Fallo el penúltimo y acierto el último (01)

Acierto el penúltimo y fallo el penúltimo (10)

Dos aciertos (11)

Y la probabilidad de transición será

P(00 a 00)=1/2 P(00 a 01)=1/2 P(00 a 10)= 0 P(00 a 11)= 0

P(01 a 00)= 0 P(01 a 01)= 0 P(01 a 10)=1/3 P(01 a 11)=2/3

P(10 a 00)=1/3 P(10 a 01)=2/3 P(10 a 10)= 0 P(10 a 11)= 0

P(11 a 00)= 0 P(11 a 01)= 0 P(11 a 10)=1/4 P(11 a 11)=3/4

Y como estado inicial le daremos el estado 00 luego las probabilidades iniciales serán

{1, 0, 0, 0}

b) Hay que multiplicar 4 veces, se han pasado.

$$\begin{pmatrix}
1&0&0&0\\
\end {pmatrix}
\begin{pmatrix}
\frac 12&\frac 12&0&0\\
0&0&\frac 13&\frac 23\\
\frac 13&\frac 23&0&0\\
0&0&\frac 14 &\frac 34
\end {pmatrix}=
\begin{pmatrix}
\frac 12&\frac 12&0&0\\
\end {pmatrix}
\\
.
\\
\begin{pmatrix}
\frac 12&\frac 12&0&0\\
\end {pmatrix}
\begin{pmatrix}
\frac 12&\frac 12&0&0\\
0&0&\frac 13&\frac 23\\
\frac 13&\frac 23&0&0\\
0&0&\frac 14 &\frac 34
\end {pmatrix}=
\begin{pmatrix}
\frac 14&\frac 14&\frac 16&\frac 13\\
\end {pmatrix}$$

Un respiro por si hay barra de desplazamiento horizontal

$$\begin{pmatrix}
\frac 14&\frac 14&\frac 16&\frac 13\\
\end {pmatrix}
\begin{pmatrix}
\frac 12&\frac 12&0&0\\
0&0&\frac 13&\frac 23\\
\frac 13&\frac 23&0&0\\
0&0&\frac 14 &\frac 34
\end {pmatrix}=
\begin{pmatrix}
\frac {13}{72}&\frac {17}{72}&\frac 16&\frac 5{12}\\
\end {pmatrix}
\\
.
\\
\begin{pmatrix}
\frac {13}{72}&\frac {17}{72}&\frac 16&\frac 5{12}\\
\end {pmatrix}
\begin{pmatrix}
\frac 12&\frac 12&0&0\\
0&0&\frac 13&\frac 23\\
\frac 13&\frac 23&0&0\\
0&0&\frac 14 &\frac 34
\end {pmatrix}=
\begin{pmatrix}
\frac {7}{48}&\frac {29}{144}&\frac {79}{432}&\frac {203}{432}\\
\end {pmatrix}$$

Los casos donde ha acertado este tiro cuarto son el 01 y 11 luego la probabilidad es

29/144 + 203/432 = (87+203) / 432 = 290/432 = 145/216 = 0.671296296...

Y eso es todo.