¿Me ayudas con un problema matemático?
Hola winlop, tengo un problema matemático de gerometria analítica que no he podido resolver y quisiera que me ayudes...
El problema dice así:
Determina la ecuación general de la circunferencia, de radio igual a 5 unidades, tangente a la recta: 3x + 4y - 16=0 en el punto P(4,1)..
El problema dice así:
Determina la ecuación general de la circunferencia, de radio igual a 5 unidades, tangente a la recta: 3x + 4y - 16=0 en el punto P(4,1)..
Respuesta de winlop
1
Vamos a razonar,
Para determinar la circunferencia necesitamos el centro y el radio, no tenemos el centro.
Tenemos el punto de tangencia y sabemos que la recta perpendicular a la tangente por este punto pasa por el centro, entonces hallemos la ec. De la perpendicular (dibuja un gráfico para que lo veas más claro)
Ec. de la tangente: 3x + 4y -16 = 0
m (tg) = -3/4 ===> m (perp) = 4/3 ......( recuerda: mt * mp = -1)
Entonces la ec. de la perpendicular es: y - 1 = 4/3 (x-4) ---> 4x - 3y -13 = 0
Ahora busquemos un punto que esté a 5 unidades del (4,1):
.
d[ (x,y);(4,1)] = 5
raiz[ (x-4)^2 + (y-1)^2 ] = 5
(x-4)^2 + (y-1)^2 = 25
Pero (x,y) pertenece a la recta perpendicular, entonces: y = 4/3 (x-4) + 1
Reemplazamos:
(x-4)^2 + (4/3 (x-4) +1 -1)^2 = 25
(x-4)^2 + (4/3 (x-4))^2 = 25
(x-4)^2 + 16/9 (x-4)^2 = 25
25/9 (x^2 - 8x + 16 ) = 25
x^2 -8x +16 = 9
x^2 -8x +7 = 0
(x-1) (x-7) = 0 ---> x=1 , x=7
Hay 2 puntos que cumplen como centro ( uno a cada lado de la recta tangente):
x=1 ---> y= -3 ---> (1, -3)
x=7 ---> y= 5 ----> (7, 5)
Con cualquiera de estos centros determinamos la circunferencia:
(x-1)^2 + (y+3)^2 = 25
o
(x-7)^2 + (y-5)^2 = 25
Para determinar la circunferencia necesitamos el centro y el radio, no tenemos el centro.
Tenemos el punto de tangencia y sabemos que la recta perpendicular a la tangente por este punto pasa por el centro, entonces hallemos la ec. De la perpendicular (dibuja un gráfico para que lo veas más claro)
Ec. de la tangente: 3x + 4y -16 = 0
m (tg) = -3/4 ===> m (perp) = 4/3 ......( recuerda: mt * mp = -1)
Entonces la ec. de la perpendicular es: y - 1 = 4/3 (x-4) ---> 4x - 3y -13 = 0
Ahora busquemos un punto que esté a 5 unidades del (4,1):
.
d[ (x,y);(4,1)] = 5
raiz[ (x-4)^2 + (y-1)^2 ] = 5
(x-4)^2 + (y-1)^2 = 25
Pero (x,y) pertenece a la recta perpendicular, entonces: y = 4/3 (x-4) + 1
Reemplazamos:
(x-4)^2 + (4/3 (x-4) +1 -1)^2 = 25
(x-4)^2 + (4/3 (x-4))^2 = 25
(x-4)^2 + 16/9 (x-4)^2 = 25
25/9 (x^2 - 8x + 16 ) = 25
x^2 -8x +16 = 9
x^2 -8x +7 = 0
(x-1) (x-7) = 0 ---> x=1 , x=7
Hay 2 puntos que cumplen como centro ( uno a cada lado de la recta tangente):
x=1 ---> y= -3 ---> (1, -3)
x=7 ---> y= 5 ----> (7, 5)
Con cualquiera de estos centros determinamos la circunferencia:
(x-1)^2 + (y+3)^2 = 25
o
(x-7)^2 + (y-5)^2 = 25
