Probabilidades

Tu problema se puede hacer mediante tu diagrama de árbol o mediante el teorema de la probabilidad total. Claramente aquí no te puedo
dibujar un digrama de árbol, por ello te lo voy a poner en forma de esquema.
Tenemos dos bolsas con las siguientes composiciones:
Bolsa 1: 4 blancas y 3 negras
Bolsa 2: 3 blancas y 5 negras
Vamos a nombrar a los sucesos posibles.
B1 = sacar Blanca en la bolsa 1.
N1 = sacar Negra en la bolsa 1.
B2: = sacar Blanca en la bolsa 2.
N2 = sacar Negra en la bolsa 2.
Los diferenciamos porque te voy a hacer el diagrama de árbol pero también te voy a explicar con el teorema de probabilidad total.
Entonces en primer lugar sacamos una bola de la bolsa 1, las probabilidades de casa suceso son las siguientes:
P(B1) = 4/7
P(N1) = 3/7
Has ahí claro, ¿no? La "complicación" la hace el meter esa bola sin saber de color era en la otra caja, de forma que no conocemos la
composición de la bolsa, ya que si no la hubieras metido las probabilidades serían
P(B2) = 3/8
P(N2) = 5/8
Bueno entonces tenemos que tener en cuenta todos los casos, es decir, si la bola de la bolsa 1 era blanca o negra:
Aquí empieza el árbol, te lo pongo con palabras y luego como esquema:
Si la bola 1ª era blanca entonces tenemos que P(B1) = 4/7, entonces si la bola 2ª es blanca tenemos que su probabilidad no es 3/8, si no que
es 4/9, porque hemos añadido una bola más blanca.
Si la bola 1ª era blanca entonces tenemos que P(B1) = 4/7, entonces si la bola 2ª es negra tenemos que su probabilidad no es 5/8, si no que
es 5/9, porque hemos añadido una bola más blanca.
Si la bola 1ª era negra, entonces tenemos que P(N1) = 3/7, entonces si la bola 2ª es blanca tenemos que su probabilidad no es 3/8, si no que
es 3/9, porque hemos añadido una bola más negra.
Si la bola 1ª era negra, entonces tenemos que P(N1) = 3/7, entonces si la bola 2ª es negra tenemos que su probabilidad no es 5/8, si no que
es 6/9, porque hemos añadido una bola más negra.
Entonces en forma de esquema tenemos:
+ B1
  - B2
  - N2
+ N1
  -B2
  -N2
Ahora, ¿cuál es la probabilidad de que la bola segunda sea negra? A priori te puede parecer que debe ser 5/9+6/9, pero esto como verás no puede ser porque suman más de uno y una probabilidad SIEMPRE está entre 0 y 1. Esto pasa porque no hemos tenido en cuenta lo que ha pasado con la primera bola, realmente la probabilidad que nos interesa la vemos así, la probabilidad en que la bola 2ª sea negra y la primera sea blanca, esto es (5/9)·(4/7) = (20/63), más la probabilidad de que la segunda sea negra y la primera también sea negra, esto es (6/9)·(3/7) = (18/63), ENTONCES la probabilidad de que sea negra es la SUMA de esas dos probabilidades (20/63)+(18/63) = 38/63.
Igual así te parece un poco complicado, pero no lo es, con el teorema de la probabilidad es más sencillo pero verás como lo habrás aplicado sin darte cuenta.
Enuncio en teorema:
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Sean A_1, A_2, A_3,..., A_n, una partición sobre el espacio muestral y sea B un suceso cualquiera del que se conocen las probabilidades condicionadas P(B/A_i), entonces la probabilidad del suceso B viene dada por
P(B) = Sumatorio P(B/A_i)·P(A_i)
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En nuestro caso los sucesos A_1,..., A_n, que forman una partición del espacio muestral son B1 y B2, ya que la suma de sus probabilidades es uno, y son disjuntos. Y el suceso B es nuestro suceso N2.
Entonces tenemos que
P(N2) = P(N2/B1)·P(B1) + P(N2/N1)·P(N1)
Entonces sustituyendo valores tenemos la solución, las probabilidadaes condicionadas son las siguientes
P(N2/B1) = "La probabilidad de que la 2ª bola sea negra si la primera ha sido blanca" = 5/9
P(N2/N1) = "La probabilidad de que la 2ª bola sea negra si la primera ha sido negra " = 6/9
las probabilidades P(B1= y P(N1) las conocemos, son las de la bolsa 1.
Entonces tenemos que:
P(N2) = P(N2/B1)·P(B1) + P(N2/N1)·P(N1) = (5/9)·(4/7) + (6/9)·(3/7) = 38/63
espero que te haya servido la respuesta.