Aplicaciones lineales por favor ayuda!
Hola estoy dando aplicaciones lineales en la universidad pero tengo una duda que no me queda clara, ¿cómo puedo demostrar que ker (f) es un subespacio vectorial de R^n? ¿Y cómo que Im (f) es un subespacio vectorial de R^m? Por favor si alguien lo sabe le agradecería enormemente que me lo explicara ya que lo necesito para continuar entendiendo el tema.
1 Respuesta
Respuesta de skakero
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Es super sencillo, es bueno que lo hagas como ejercicio así que no lo haré entero, solo te daré el indicio de como hacerlo.
lo que debes hacer es utilizar la caracterizacion de un subespacio como un subconjunto del espacio que contiene al cero y que es cerrado bajo la operacion del e.v. y la ponderacion por escalar. Para eso usas que T(a)+T(b)=T(a+b) para ambos lados, o sea algunas vecs de la derceha sacas la izk y otras al reves. y usas tb que T(lambda*a)=lambda*T(a).
Si necesitas más ayuda dime, pero deberías poder hacerlo sin problemas
lo que debes hacer es utilizar la caracterizacion de un subespacio como un subconjunto del espacio que contiene al cero y que es cerrado bajo la operacion del e.v. y la ponderacion por escalar. Para eso usas que T(a)+T(b)=T(a+b) para ambos lados, o sea algunas vecs de la derceha sacas la izk y otras al reves. y usas tb que T(lambda*a)=lambda*T(a).
Si necesitas más ayuda dime, pero deberías poder hacerlo sin problemas
a que te refieres con esto : T(lambda*a)=lambda*T(a) es que no lo e visto nunca :S y cuando me dices para ambos lados que quieres decir? Siento preguntar de nuevo pero acabamos de empezar este tema y ando algo perdida :S muchas gracias por responderme de verdad
Lo de lambda es que respeta multiplicación por escalar, es una de las propiedades de las transformaciones lineales. puse t en vez de f =P
Cuando te digo hacia los dos lados es que a veces tiene es el lado derecho de la igualdad y necesitas el izquierdo y otras veces es al revés, es decir, tienes el izquierdo y necesitas el derecho.
Cuando te digo hacia los dos lados es que a veces tiene es el lado derecho de la igualdad y necesitas el izquierdo y otras veces es al revés, es decir, tienes el izquierdo y necesitas el derecho.
¿Y me tengo que inventar los vectores o lo puedo hacer en plan general? Creo que empiezo a entenderlo ^^
Tienes que hacerlo en términos generales, tomas vectores arbitrarios.
La demostración para el kernel es como sigue:
primero el cero esta en el kernel, porque f(0)=0
segundo, X, Y en el kernel, entonces (X+Y) en el kernel
es sencillo, tienes que ver que f(X+Y)=0
para eso usas que f(x+y)=f(x)+f(y)=0+0=0
tercero, si x esta en el kernel, ver que L*x esta en el kernel
o sea, ver que f(L*x)=0
pero f(L*x)=L*f(x)=L*0=0
la d ela imagen se hace super parecido.
La demostración para el kernel es como sigue:
primero el cero esta en el kernel, porque f(0)=0
segundo, X, Y en el kernel, entonces (X+Y) en el kernel
es sencillo, tienes que ver que f(X+Y)=0
para eso usas que f(x+y)=f(x)+f(y)=0+0=0
tercero, si x esta en el kernel, ver que L*x esta en el kernel
o sea, ver que f(L*x)=0
pero f(L*x)=L*f(x)=L*0=0
la d ela imagen se hace super parecido.
